Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35462 / 31396
↖ ↑ ↗
← N  7.514981°
E 14.798584°		 ← 605.54 m → N  7.514981°
E 14.804077°		 →
↑
605.56 m
↓
↑
605.56 m
↓
N  7.509535°
E 14.798584°		 ← 605.55 m →
366 696 m²		 N  7.509535°
E 14.804077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541114807128906 y=0.479072570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541114807128906 × 216)
    floor (0.541114807128906 × 65536)
    floor (35462.5)     		tx = 35462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479072570800781 × 216)
    floor (0.479072570800781 × 65536)
    floor (31396.5)     		ty = 31396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35462 / 31396 ti = "16/35462/31396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35462/31396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35462 ÷ 216
    35462 ÷ 65536     		x = 0.541107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31396 ÷ 216
    31396 ÷ 65536     		y = 0.47906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541107177734375 × 2 - 1) × π
    0.08221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25828402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47906494140625 × 2 - 1) × π
    0.0418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.131538852557434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25828402} λ = 0.25828402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131538852557434))-π/2
    2×atan(1.14058222139778)-π/2
    2×0.850978743730302-π/2
    1.7019574874606-1.57079632675     		φ = 0.13116116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25828402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.798584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13116116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.514981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35462 KachelY 31396 0.25828402 0.13116116 14.798584 7.514981
    Oben rechts KachelX + 1 35463 KachelY 31396 0.25837989 0.13116116 14.804077 7.514981
    Unten links KachelX 35462 KachelY + 1 31397 0.25828402 0.13106611 14.798584 7.509535
    Unten rechts KachelX + 1 35463 KachelY + 1 31397 0.25837989 0.13106611 14.804077 7.509535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13116116-0.13106611) × R
    9.50499999999854e-05 × 6371000     		dl = 605.563549999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13116116-0.13106611) × R
    9.50499999999854e-05 × 6371000     		dr = 605.563549999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25828402-0.25837989) × cos(0.13116116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991410699309889 × 6371000     		do = 605.541530185615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25828402-0.25837989) × cos(0.13106611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991423125985303 × 6371000     		du = 605.549120246979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13116116)-sin(0.13106611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991410699309889-0.991423125985303)×R²
    abs(0.25837989-0.25828402)×1.24266754137903e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.24266754137903e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.24266754137903e-05×40589641000000     		ar = 366696.177099903m²