Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3546 / 1874
↖ ↑ ↗
← N 69.380313°
W 24.169922°		 ← 1 720.84 m → N 69.380313°
W 24.125977°		 →
↑
1 721.44 m
↓
↑
1 721.44 m
↓
N 69.364831°
W 24.169922°		 ← 1 722.08 m →
2 963 400 m²		 N 69.364831°
W 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43292236328125 y=0.22882080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43292236328125 × 213)
    floor (0.43292236328125 × 8192)
    floor (3546.5)     		tx = 3546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22882080078125 × 213)
    floor (0.22882080078125 × 8192)
    floor (1874.5)     		ty = 1874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3546 / 1874 ti = "13/3546/1874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3546/1874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3546 ÷ 213
    3546 ÷ 8192     		x = 0.432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1874 ÷ 213
    1874 ÷ 8192     		y = 0.228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228759765625 × 2 - 1) × π
    0.54248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70425265529224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42184472} λ = -0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70425265529224))-π/2
    2×atan(5.49727577169336)-π/2
    2×1.39085560987934-π/2
    2.78171121975868-1.57079632675     		φ = 1.21091489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21091489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.380313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3546 KachelY 1874 -0.42184472 1.21091489 -24.169922 69.380313
    Oben rechts KachelX + 1 3547 KachelY 1874 -0.42107773 1.21091489 -24.125977 69.380313
    Unten links KachelX 3546 KachelY + 1 1875 -0.42184472 1.21064469 -24.169922 69.364831
    Unten rechts KachelX + 1 3547 KachelY + 1 1875 -0.42107773 1.21064469 -24.125977 69.364831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21091489-1.21064469) × R
    0.000270199999999887 × 6371000     		dl = 1721.44419999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21091489-1.21064469) × R
    0.000270199999999887 × 6371000     		dr = 1721.44419999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42184472--0.42107773) × cos(1.21091489) × R
    0.000766990000000023 × 0.352163267872288 × 6371000     		do = 1720.84344544246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42184472--0.42107773) × cos(1.21064469) × R
    0.000766990000000023 × 0.352416145619195 × 6371000     		du = 1722.07913085591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21091489)-sin(1.21064469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352163267872288-0.352416145619195)×R²
    abs(-0.42107773--0.42184472)×0.000252877746907298×R²
    0.000766990000000023×0.000252877746907298×6371000²
    0.000766990000000023×0.000252877746907298×40589641000000     		ar = 2963399.56803659m²