Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3546 / 1835
↖ ↑ ↗
← N 69.975493°
W 24.169922°		 ← 1 673.24 m → N 69.975493°
W 24.125977°		 →
↑
1 673.85 m
↓
↑
1 673.85 m
↓
N 69.960439°
W 24.169922°		 ← 1 674.45 m →
2 801 772 m²		 N 69.960439°
W 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43292236328125 y=0.22406005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43292236328125 × 213)
    floor (0.43292236328125 × 8192)
    floor (3546.5)     		tx = 3546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22406005859375 × 213)
    floor (0.22406005859375 × 8192)
    floor (1835.5)     		ty = 1835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3546 / 1835 ti = "13/3546/1835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3546/1835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3546 ÷ 213
    3546 ÷ 8192     		x = 0.432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1835 ÷ 213
    1835 ÷ 8192     		y = 0.2239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2239990234375 × 2 - 1) × π
    0.552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73416528065515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42184472} λ = -0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73416528065515))-π/2
    2×atan(5.66419781448402)-π/2
    2×1.39604953361933-π/2
    2.79209906723866-1.57079632675     		φ = 1.22130274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22130274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.975493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3546 KachelY 1835 -0.42184472 1.22130274 -24.169922 69.975493
    Oben rechts KachelX + 1 3547 KachelY 1835 -0.42107773 1.22130274 -24.125977 69.975493
    Unten links KachelX 3546 KachelY + 1 1836 -0.42184472 1.22104001 -24.169922 69.960439
    Unten rechts KachelX + 1 3547 KachelY + 1 1836 -0.42107773 1.22104001 -24.125977 69.960439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22130274-1.22104001) × R
    0.000262729999999989 × 6371000     		dl = 1673.85282999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22130274-1.22104001) × R
    0.000262729999999989 × 6371000     		dr = 1673.85282999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42184472--0.42107773) × cos(1.22130274) × R
    0.000766990000000023 × 0.342422052760671 × 6371000     		do = 1673.2430631631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42184472--0.42107773) × cos(1.22104001) × R
    0.000766990000000023 × 0.34266888792337 × 6371000     		du = 1674.44922152936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22130274)-sin(1.22104001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342422052760671-0.34266888792337)×R²
    abs(-0.42107773--0.42184472)×0.000246835162698633×R²
    0.000766990000000023×0.000246835162698633×6371000²
    0.000766990000000023×0.000246835162698633×40589641000000     		ar = 2801772.11846483m²