Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35453 / 31371
↖ ↑ ↗
← N  7.651109°
E 14.749145°		 ← 605.35 m → N  7.651109°
E 14.754638°		 →
↑
605.37 m
↓
↑
605.37 m
↓
N  7.645665°
E 14.749145°		 ← 605.36 m →
366 465 m²		 N  7.645665°
E 14.754638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540977478027344 y=0.478691101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540977478027344 × 216)
    floor (0.540977478027344 × 65536)
    floor (35453.5)     		tx = 35453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478691101074219 × 216)
    floor (0.478691101074219 × 65536)
    floor (31371.5)     		ty = 31371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35453 / 31371 ti = "16/35453/31371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35453/31371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35453 ÷ 216
    35453 ÷ 65536     		x = 0.540969848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31371 ÷ 216
    31371 ÷ 65536     		y = 0.478683471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540969848632812 × 2 - 1) × π
    0.081939697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25742115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478683471679688 × 2 - 1) × π
    0.042633056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.133935697538437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25742115} λ = 0.25742115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133935697538437))-π/2
    2×atan(1.14331929903561)-π/2
    2×0.852166685288534-π/2
    1.70433337057707-1.57079632675     		φ = 0.13353704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25742115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.749145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13353704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.651109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35453 KachelY 31371 0.25742115 0.13353704 14.749145 7.651109
    Oben rechts KachelX + 1 35454 KachelY 31371 0.25751702 0.13353704 14.754638 7.651109
    Unten links KachelX 35453 KachelY + 1 31372 0.25742115 0.13344202 14.749145 7.645665
    Unten rechts KachelX + 1 35454 KachelY + 1 31372 0.25751702 0.13344202 14.754638 7.645665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13353704-0.13344202) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dl = 605.372420000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13353704-0.13344202) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dr = 605.372420000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25742115-0.25751702) × cos(0.13353704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991097170986633 × 6371000     		do = 605.350030920221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25742115-0.25751702) × cos(0.13344202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991109817524472 × 6371000     		du = 605.357755270866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13353704)-sin(0.13344202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991097170986633-0.991109817524472)×R²
    abs(0.25751702-0.25742115)×1.26465378381679e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26465378381679e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26465378381679e-05×40589641000000     		ar = 366464.551495333m²