Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35450 / 31372
↖ ↑ ↗
← N  7.645665°
E 14.732666°		 ← 605.36 m → N  7.645665°
E 14.738159°		 →
↑
605.37 m
↓
↑
605.37 m
↓
N  7.640220°
E 14.732666°		 ← 605.37 m →
366 469 m²		 N  7.640220°
E 14.738159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540931701660156 y=0.478706359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540931701660156 × 216)
    floor (0.540931701660156 × 65536)
    floor (35450.5)     		tx = 35450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478706359863281 × 216)
    floor (0.478706359863281 × 65536)
    floor (31372.5)     		ty = 31372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35450 / 31372 ti = "16/35450/31372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35450/31372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35450 ÷ 216
    35450 ÷ 65536     		x = 0.540924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31372 ÷ 216
    31372 ÷ 65536     		y = 0.47869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540924072265625 × 2 - 1) × π
    0.08184814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25713353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47869873046875 × 2 - 1) × π
    0.0426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.133839823739197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25713353} λ = 0.25713353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133839823739197))-π/2
    2×atan(1.14320968992508)-π/2
    2×0.852119174859803-π/2
    1.70423834971961-1.57079632675     		φ = 0.13344202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25713353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.732666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13344202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.645665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35450 KachelY 31372 0.25713353 0.13344202 14.732666 7.645665
    Oben rechts KachelX + 1 35451 KachelY 31372 0.25722940 0.13344202 14.738159 7.645665
    Unten links KachelX 35450 KachelY + 1 31373 0.25713353 0.13334700 14.732666 7.640220
    Unten rechts KachelX + 1 35451 KachelY + 1 31373 0.25722940 0.13334700 14.738159 7.640220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13344202-0.13334700) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dl = 605.372420000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13344202-0.13334700) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dr = 605.372420000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25713353-0.25722940) × cos(0.13344202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991109817524472 × 6371000     		do = 605.357755270866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25713353-0.25722940) × cos(0.13334700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991122455113777 × 6371000     		du = 605.365474155856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13344202)-sin(0.13334700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991109817524472-0.991122455113777)×R²
    abs(0.25722940-0.25713353)×1.26375893053643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26375893053643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26375893053643e-05×40589641000000     		ar = 366469.225949896m²