Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3545 / 4599
↖ ↑ ↗
← N 78.082425°
W141.053467°		 ← 252.27 m → N 78.082425°
W141.042481°		 →
↑
252.29 m
↓
↑
252.29 m
↓
N 78.080156°
W141.053467°		 ← 252.32 m →
63 653 m²		 N 78.080156°
W141.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108200073242188 y=0.140365600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108200073242188 × 215)
    floor (0.108200073242188 × 32768)
    floor (3545.5)     		tx = 3545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140365600585938 × 215)
    floor (0.140365600585938 × 32768)
    floor (4599.5)     		ty = 4599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3545 / 4599 ti = "15/3545/4599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3545/4599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3545 ÷ 215
    3545 ÷ 32768     		x = 0.108184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4599 ÷ 215
    4599 ÷ 32768     		y = 0.140350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108184814453125 × 2 - 1) × π
    -0.78363037109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46184742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140350341796875 × 2 - 1) × π
    0.71929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25974544808945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46184742} λ = -2.46184742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25974544808945))-π/2
    2×atan(9.58065008355779)-π/2
    2×1.46679586507764-π/2
    2.93359173015529-1.57079632675     		φ = 1.36279540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46184742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36279540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.082425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3545 KachelY 4599 -2.46184742 1.36279540 -141.053467 78.082425
    Oben rechts KachelX + 1 3546 KachelY 4599 -2.46165567 1.36279540 -141.042481 78.082425
    Unten links KachelX 3545 KachelY + 1 4600 -2.46184742 1.36275580 -141.053467 78.080156
    Unten rechts KachelX + 1 3546 KachelY + 1 4600 -2.46165567 1.36275580 -141.042481 78.080156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36279540-1.36275580) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dl = 252.291600000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36279540-1.36275580) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dr = 252.291600000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46184742--2.46165567) × cos(1.36279540) × R
    0.000191749999999935 × 0.206504329219589 × 6371000     		do = 252.273793869487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46184742--2.46165567) × cos(1.36275580) × R
    0.000191749999999935 × 0.206543075506861 × 6371000     		du = 252.321127854809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36279540)-sin(1.36275580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206504329219589-0.206543075506861)×R²
    abs(-2.46165567--2.46184742)×3.87462872711852e-05×R²
    0.000191749999999935×3.87462872711852e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.87462872711852e-05×40589641000000     		ar = 63652.5300852385m²