Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35444 / 47963
↖ ↑ ↗
← S 63.770350°
E 14.699707°		 ← 269.95 m → S 63.770350°
E 14.705200°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
S 63.772777°
E 14.699707°		 ← 269.93 m →
72 867 m²		 S 63.772777°
E 14.705200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540840148925781 y=0.731864929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540840148925781 × 216)
    floor (0.540840148925781 × 65536)
    floor (35444.5)     		tx = 35444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731864929199219 × 216)
    floor (0.731864929199219 × 65536)
    floor (47963.5)     		ty = 47963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35444 / 47963 ti = "16/35444/47963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35444/47963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35444 ÷ 216
    35444 ÷ 65536     		x = 0.54083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47963 ÷ 216
    47963 ÷ 65536     		y = 0.731857299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54083251953125 × 2 - 1) × π
    0.0816650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25655829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731857299804688 × 2 - 1) × π
    -0.463714599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45680237945351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25655829} λ = 0.25655829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45680237945351))-π/2
    2×atan(0.232980066762059)-π/2
    2×0.228896880844495-π/2
    0.457793761688991-1.57079632675     		φ = -1.11300257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25655829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.699707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11300257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.770350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35444 KachelY 47963 0.25655829 -1.11300257 14.699707 -63.770350
    Oben rechts KachelX + 1 35445 KachelY 47963 0.25665416 -1.11300257 14.705200 -63.770350
    Unten links KachelX 35444 KachelY + 1 47964 0.25655829 -1.11304494 14.699707 -63.772777
    Unten rechts KachelX + 1 35445 KachelY + 1 47964 0.25665416 -1.11304494 14.705200 -63.772777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11300257--1.11304494) × R
    4.23700000000693e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11300257--1.11304494) × R
    4.23700000000693e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25655829-0.25665416) × cos(-1.11300257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441970118374926 × 6371000     		do = 269.949943008851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25655829-0.25665416) × cos(-1.11304494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44193211082672 × 6371000     		du = 269.926728463239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11300257)-sin(-1.11304494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441970118374926-0.44193211082672)×R²
    abs(0.25665416-0.25655829)×3.80075482060982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80075482060982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80075482060982e-05×40589641000000     		ar = 72866.9573047353m²