Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3544 / 4634
↖ ↑ ↗
← N 78.002758°
W141.064453°		 ← 253.92 m → N 78.002758°
W141.053467°		 →
↑
253.95 m
↓
↑
253.95 m
↓
N 78.000475°
W141.064453°		 ← 253.97 m →
64 489 m²		 N 78.000475°
W141.053467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108169555664062 y=0.141433715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108169555664062 × 215)
    floor (0.108169555664062 × 32768)
    floor (3544.5)     		tx = 3544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141433715820312 × 215)
    floor (0.141433715820312 × 32768)
    floor (4634.5)     		ty = 4634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3544 / 4634 ti = "15/3544/4634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3544/4634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3544 ÷ 215
    3544 ÷ 32768     		x = 0.108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4634 ÷ 215
    4634 ÷ 32768     		y = 0.14141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.78369140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46203916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14141845703125 × 2 - 1) × π
    0.7171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25303428214264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46203916} λ = -2.46203916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25303428214264))-π/2
    2×atan(9.51656802415597)-π/2
    2×1.46610064280616-π/2
    2.93220128561232-1.57079632675     		φ = 1.36140496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46203916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36140496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.002758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3544 KachelY 4634 -2.46203916 1.36140496 -141.064453 78.002758
    Oben rechts KachelX + 1 3545 KachelY 4634 -2.46184742 1.36140496 -141.053467 78.002758
    Unten links KachelX 3544 KachelY + 1 4635 -2.46203916 1.36136510 -141.064453 78.000475
    Unten rechts KachelX + 1 3545 KachelY + 1 4635 -2.46184742 1.36136510 -141.053467 78.000475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36140496-1.36136510) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dl = 253.948060000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36140496-1.36136510) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dr = 253.948060000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46203916--2.46184742) × cos(1.36140496) × R
    0.000191739999999996 × 0.207864599182176 × 6371000     		do = 253.922309992845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46203916--2.46184742) × cos(1.36136510) × R
    0.000191739999999996 × 0.207903588379338 × 6371000     		du = 253.969938242422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36140496)-sin(1.36136510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207864599182176-0.207903588379338)×R²
    abs(-2.46184742--2.46203916)×3.8989197162137e-05×R²
    0.000191739999999996×3.8989197162137e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.8989197162137e-05×40589641000000     		ar = 64489.1255725379m²