Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3544 / 2649
↖ ↑ ↗
← N 53.514185°
W 24.257813°		 ← 2 905.63 m → N 53.514185°
W 24.213867°		 →
↑
2 906.51 m
↓
↑
2 906.51 m
↓
N 53.488046°
W 24.257813°		 ← 2 907.42 m →
8 447 844 m²		 N 53.488046°
W 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43267822265625 y=0.32342529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43267822265625 × 213)
    floor (0.43267822265625 × 8192)
    floor (3544.5)     		tx = 3544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32342529296875 × 213)
    floor (0.32342529296875 × 8192)
    floor (2649.5)     		ty = 2649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3544 / 2649 ti = "13/3544/2649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3544/2649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3544 ÷ 213
    3544 ÷ 8192     		x = 0.4326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2649 ÷ 213
    2649 ÷ 8192     		y = 0.3233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3233642578125 × 2 - 1) × π
    0.353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10983510000354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42337870} λ = -0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10983510000354))-π/2
    2×atan(3.03385807000006)-π/2
    2×1.25239752159164-π/2
    2.50479504318327-1.57079632675     		φ = 0.93399872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93399872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.514185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3544 KachelY 2649 -0.42337870 0.93399872 -24.257813 53.514185
    Oben rechts KachelX + 1 3545 KachelY 2649 -0.42261171 0.93399872 -24.213867 53.514185
    Unten links KachelX 3544 KachelY + 1 2650 -0.42337870 0.93354251 -24.257813 53.488046
    Unten rechts KachelX + 1 3545 KachelY + 1 2650 -0.42261171 0.93354251 -24.213867 53.488046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93399872-0.93354251) × R
    0.000456209999999957 × 6371000     		dl = 2906.51390999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93399872-0.93354251) × R
    0.000456209999999957 × 6371000     		dr = 2906.51390999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42337870--0.42261171) × cos(0.93399872) × R
    0.000766990000000023 × 0.594623757534618 × 6371000     		do = 2905.62500126759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42337870--0.42261171) × cos(0.93354251) × R
    0.000766990000000023 × 0.594990490351902 × 6371000     		du = 2907.41703871847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93399872)-sin(0.93354251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594623757534618-0.594990490351902)×R²
    abs(-0.42261171--0.42337870)×0.000366732817284388×R²
    0.000766990000000023×0.000366732817284388×6371000²
    0.000766990000000023×0.000366732817284388×40589641000000     		ar = 8447843.92083826m²