Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35434 / 47962
↖ ↑ ↗
← S 63.767922°
E 14.644775°		 ← 269.97 m → S 63.767922°
E 14.650268°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
S 63.770350°
E 14.644775°		 ← 269.95 m →
72 890 m²		 S 63.770350°
E 14.650268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540687561035156 y=0.731849670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540687561035156 × 216)
    floor (0.540687561035156 × 65536)
    floor (35434.5)     		tx = 35434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731849670410156 × 216)
    floor (0.731849670410156 × 65536)
    floor (47962.5)     		ty = 47962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35434 / 47962 ti = "16/35434/47962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35434/47962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35434 ÷ 216
    35434 ÷ 65536     		x = 0.540679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47962 ÷ 216
    47962 ÷ 65536     		y = 0.731842041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540679931640625 × 2 - 1) × π
    0.08135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25559955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731842041015625 × 2 - 1) × π
    -0.46368408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45670650565427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25559955} λ = 0.25559955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45670650565427))-π/2
    2×atan(0.233002404516993)-π/2
    2×0.22891806843297-π/2
    0.45783613686594-1.57079632675     		φ = -1.11296019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25559955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.644775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11296019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.767922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35434 KachelY 47962 0.25559955 -1.11296019 14.644775 -63.767922
    Oben rechts KachelX + 1 35435 KachelY 47962 0.25569542 -1.11296019 14.650268 -63.767922
    Unten links KachelX 35434 KachelY + 1 47963 0.25559955 -1.11300257 14.644775 -63.770350
    Unten rechts KachelX + 1 35435 KachelY + 1 47963 0.25569542 -1.11300257 14.650268 -63.770350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11296019--1.11300257) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11296019--1.11300257) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25559955-0.25569542) × cos(-1.11296019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44200813409981 × 6371000     		do = 269.973162548678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25559955-0.25569542) × cos(-1.11300257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441970118374926 × 6371000     		du = 269.949943008851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11296019)-sin(-1.11300257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44200813409981-0.441970118374926)×R²
    abs(0.25569542-0.25559955)×3.80157248842106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80157248842106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80157248842106e-05×40589641000000     		ar = 72890.4237466404m²