Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35432 / 48218
↖ ↑ ↗
← S 64.382692°
E 14.633789°		 ← 264.08 m → S 64.382692°
E 14.639282°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
S 64.385067°
E 14.633789°		 ← 264.06 m →
69 734 m²		 S 64.385067°
E 14.639282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540657043457031 y=0.735755920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540657043457031 × 216)
    floor (0.540657043457031 × 65536)
    floor (35432.5)     		tx = 35432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735755920410156 × 216)
    floor (0.735755920410156 × 65536)
    floor (48218.5)     		ty = 48218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35432 / 48218 ti = "16/35432/48218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35432/48218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35432 ÷ 216
    35432 ÷ 65536     		x = 0.5406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48218 ÷ 216
    48218 ÷ 65536     		y = 0.735748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5406494140625 × 2 - 1) × π
    0.081298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25540780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735748291015625 × 2 - 1) × π
    -0.47149658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48125019825974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25540780} λ = 0.25540780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48125019825974))-π/2
    2×atan(0.227353273966195)-π/2
    2×0.223553190376333-π/2
    0.447106380752665-1.57079632675     		φ = -1.12368995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25540780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12368995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.382692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35432 KachelY 48218 0.25540780 -1.12368995 14.633789 -64.382692
    Oben rechts KachelX + 1 35433 KachelY 48218 0.25550367 -1.12368995 14.639282 -64.382692
    Unten links KachelX 35432 KachelY + 1 48219 0.25540780 -1.12373140 14.633789 -64.385067
    Unten rechts KachelX + 1 35433 KachelY + 1 48219 0.25550367 -1.12373140 14.639282 -64.385067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12368995--1.12373140) × R
    4.14500000001095e-05 × 6371000     		dl = 264.077950000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12368995--1.12373140) × R
    4.14500000001095e-05 × 6371000     		dr = 264.077950000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25540780-0.25550367) × cos(-1.12368995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432358162123014 × 6371000     		do = 264.079077684408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25540780-0.25550367) × cos(-1.12373140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43232078620548 × 6371000     		du = 264.056248931086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12368995)-sin(-1.12373140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432358162123014-0.43232078620548)×R²
    abs(0.25550367-0.25540780)×3.73759175337773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73759175337773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73759175337773e-05×40589641000000     		ar = 69734.447197861m²