Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35431 / 48198
↖ ↑ ↗
← S 64.335150°
E 14.628296°		 ← 264.54 m → S 64.335150°
E 14.633789°		 →
↑
264.52 m
↓
↑
264.52 m
↓
S 64.337529°
E 14.628296°		 ← 264.51 m →
69 973 m²		 S 64.337529°
E 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540641784667969 y=0.735450744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540641784667969 × 216)
    floor (0.540641784667969 × 65536)
    floor (35431.5)     		tx = 35431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735450744628906 × 216)
    floor (0.735450744628906 × 65536)
    floor (48198.5)     		ty = 48198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35431 / 48198 ti = "16/35431/48198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35431/48198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35431 ÷ 216
    35431 ÷ 65536     		x = 0.540634155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48198 ÷ 216
    48198 ÷ 65536     		y = 0.735443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540634155273438 × 2 - 1) × π
    0.081268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25531193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.47088623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47933272227493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25531193} λ = 0.25531193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47933272227493))-π/2
    2×atan(0.22778963663286)-π/2
    2×0.223968067084431-π/2
    0.447936134168862-1.57079632675     		φ = -1.12286019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25531193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.628296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12286019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.335150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35431 KachelY 48198 0.25531193 -1.12286019 14.628296 -64.335150
    Oben rechts KachelX + 1 35432 KachelY 48198 0.25540780 -1.12286019 14.633789 -64.335150
    Unten links KachelX 35431 KachelY + 1 48199 0.25531193 -1.12290171 14.628296 -64.337529
    Unten rechts KachelX + 1 35432 KachelY + 1 48199 0.25540780 -1.12290171 14.633789 -64.337529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12286019--1.12290171) × R
    4.15200000001281e-05 × 6371000     		dl = 264.523920000816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12286019--1.12290171) × R
    4.15200000001281e-05 × 6371000     		dr = 264.523920000816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25531193-0.25540780) × cos(-1.12286019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43310620941353 × 6371000     		do = 264.535975820837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25531193-0.25540780) × cos(-1.12290171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433068785283291 × 6371000     		du = 264.513117619784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12286019)-sin(-1.12290171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43310620941353-0.433068785283291)×R²
    abs(0.25540780-0.25531193)×3.74241302388278e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74241302388278e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74241302388278e-05×40589641000000     		ar = 69973.0700446732m²