Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35430 / 48197
↖ ↑ ↗
← S 64.332771°
E 14.622803°		 ← 264.59 m → S 64.332771°
E 14.628296°		 →
↑
264.52 m
↓
↑
264.52 m
↓
S 64.335150°
E 14.622803°		 ← 264.56 m →
69 986 m²		 S 64.335150°
E 14.628296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540626525878906 y=0.735435485839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540626525878906 × 216)
    floor (0.540626525878906 × 65536)
    floor (35430.5)     		tx = 35430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735435485839844 × 216)
    floor (0.735435485839844 × 65536)
    floor (48197.5)     		ty = 48197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35430 / 48197 ti = "16/35430/48197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35430/48197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35430 ÷ 216
    35430 ÷ 65536     		x = 0.540618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48197 ÷ 216
    48197 ÷ 65536     		y = 0.735427856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540618896484375 × 2 - 1) × π
    0.08123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25521605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735427856445312 × 2 - 1) × π
    -0.470855712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47923684847569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25521605} λ = 0.25521605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47923684847569))-π/2
    2×atan(0.227811476737682)-π/2
    2×0.223988829750288-π/2
    0.447977659500577-1.57079632675     		φ = -1.12281867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25521605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.622803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12281867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.332771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35430 KachelY 48197 0.25521605 -1.12281867 14.622803 -64.332771
    Oben rechts KachelX + 1 35431 KachelY 48197 0.25531193 -1.12281867 14.628296 -64.332771
    Unten links KachelX 35430 KachelY + 1 48198 0.25521605 -1.12286019 14.622803 -64.335150
    Unten rechts KachelX + 1 35431 KachelY + 1 48198 0.25531193 -1.12286019 14.628296 -64.335150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12281867--1.12286019) × R
    4.15199999999061e-05 × 6371000     		dl = 264.523919999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12281867--1.12286019) × R
    4.15199999999061e-05 × 6371000     		dr = 264.523919999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25521605-0.25531193) × cos(-1.12281867) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.433143632797132 × 6371000     		do = 264.586429146684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25521605-0.25531193) × cos(-1.12286019) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.43310620941353 × 6371000     		du = 264.563569017424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12281867)-sin(-1.12286019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433143632797132-0.43310620941353)×R²
    abs(0.25531193-0.25521605)×3.74233836022975e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.74233836022975e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.74233836022975e-05×40589641000000     		ar = 69986.4159012038m²