Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35427 / 47965
↖ ↑ ↗
← S 63.775205°
E 14.606323°		 ← 269.93 m → S 63.775205°
E 14.611817°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
S 63.777632°
E 14.606323°		 ← 269.91 m →
72 862 m²		 S 63.777632°
E 14.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540580749511719 y=0.731895446777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540580749511719 × 216)
    floor (0.540580749511719 × 65536)
    floor (35427.5)     		tx = 35427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731895446777344 × 216)
    floor (0.731895446777344 × 65536)
    floor (47965.5)     		ty = 47965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35427 / 47965 ti = "16/35427/47965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35427/47965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35427 ÷ 216
    35427 ÷ 65536     		x = 0.540573120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47965 ÷ 216
    47965 ÷ 65536     		y = 0.731887817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540573120117188 × 2 - 1) × π
    0.081146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25492843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731887817382812 × 2 - 1) × π
    -0.463775634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45699412705199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25492843} λ = 0.25492843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45699412705199))-π/2
    2×atan(0.232935397676496)-π/2
    2×0.228854511133696-π/2
    0.457709022267391-1.57079632675     		φ = -1.11308730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25492843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.606323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11308730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.775205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35427 KachelY 47965 0.25492843 -1.11308730 14.606323 -63.775205
    Oben rechts KachelX + 1 35428 KachelY 47965 0.25502431 -1.11308730 14.611817 -63.775205
    Unten links KachelX 35427 KachelY + 1 47966 0.25492843 -1.11312967 14.606323 -63.777632
    Unten rechts KachelX + 1 35428 KachelY + 1 47966 0.25502431 -1.11312967 14.611817 -63.777632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11308730--1.11312967) × R
    4.23700000000693e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11308730--1.11312967) × R
    4.23700000000693e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25492843-0.25502431) × cos(-1.11308730) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.441894111455822 × 6371000     		do = 269.931671986053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25492843-0.25502431) × cos(-1.11312967) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.441856102321144 × 6371000     		du = 269.908454049881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11308730)-sin(-1.11312967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441894111455822-0.441856102321144)×R²
    abs(0.25502431-0.25492843)×3.80091346786071e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80091346786071e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80091346786071e-05×40589641000000     		ar = 72862.0247804553m²