Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35427 / 47964
↖ ↑ ↗
← S 63.772777°
E 14.606323°		 ← 269.95 m → S 63.772777°
E 14.611817°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
S 63.775205°
E 14.606323°		 ← 269.93 m →
72 851 m²		 S 63.775205°
E 14.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540580749511719 y=0.731880187988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540580749511719 × 216)
    floor (0.540580749511719 × 65536)
    floor (35427.5)     		tx = 35427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731880187988281 × 216)
    floor (0.731880187988281 × 65536)
    floor (47964.5)     		ty = 47964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35427 / 47964 ti = "16/35427/47964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35427/47964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35427 ÷ 216
    35427 ÷ 65536     		x = 0.540573120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47964 ÷ 216
    47964 ÷ 65536     		y = 0.73187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540573120117188 × 2 - 1) × π
    0.081146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25492843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.4637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45689825325275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25492843} λ = 0.25492843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45689825325275))-π/2
    2×atan(0.232957731148629)-π/2
    2×0.22887569507811-π/2
    0.457751390156221-1.57079632675     		φ = -1.11304494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25492843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.606323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11304494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.772777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35427 KachelY 47964 0.25492843 -1.11304494 14.606323 -63.772777
    Oben rechts KachelX + 1 35428 KachelY 47964 0.25502431 -1.11304494 14.611817 -63.772777
    Unten links KachelX 35427 KachelY + 1 47965 0.25492843 -1.11308730 14.606323 -63.775205
    Unten rechts KachelX + 1 35428 KachelY + 1 47965 0.25502431 -1.11308730 14.611817 -63.775205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11304494--1.11308730) × R
    4.2359999999908e-05 × 6371000     		dl = 269.875559999414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11304494--1.11308730) × R
    4.2359999999908e-05 × 6371000     		dr = 269.875559999414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25492843-0.25502431) × cos(-1.11304494) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44193211082672 × 6371000     		do = 269.954883958005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25492843-0.25502431) × cos(-1.11308730) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.441894111455822 × 6371000     		du = 269.931671986053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11304494)-sin(-1.11308730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44193211082672-0.441894111455822)×R²
    abs(0.25502431-0.25492843)×3.79993708977122e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.79993708977122e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.79993708977122e-05×40589641000000     		ar = 72851.0933216262m²