Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35422 / 48161
↖ ↑ ↗
← S 64.246981°
E 14.578857°		 ← 265.41 m → S 64.246981°
E 14.584351°		 →
↑
265.42 m
↓
↑
265.42 m
↓
S 64.249368°
E 14.578857°		 ← 265.39 m →
70 441 m²		 S 64.249368°
E 14.584351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540504455566406 y=0.734886169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540504455566406 × 216)
    floor (0.540504455566406 × 65536)
    floor (35422.5)     		tx = 35422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734886169433594 × 216)
    floor (0.734886169433594 × 65536)
    floor (48161.5)     		ty = 48161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35422 / 48161 ti = "16/35422/48161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35422/48161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35422 ÷ 216
    35422 ÷ 65536     		x = 0.540496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48161 ÷ 216
    48161 ÷ 65536     		y = 0.734878540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540496826171875 × 2 - 1) × π
    0.08099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25444906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734878540039062 × 2 - 1) × π
    -0.469757080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47578539170305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25444906} λ = 0.25444906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47578539170305))-π/2
    2×atan(0.228599116672648)-π/2
    2×0.224737481618668-π/2
    0.449474963237335-1.57079632675     		φ = -1.12132136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25444906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12132136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.246981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35422 KachelY 48161 0.25444906 -1.12132136 14.578857 -64.246981
    Oben rechts KachelX + 1 35423 KachelY 48161 0.25454494 -1.12132136 14.584351 -64.246981
    Unten links KachelX 35422 KachelY + 1 48162 0.25444906 -1.12136302 14.578857 -64.249368
    Unten rechts KachelX + 1 35423 KachelY + 1 48162 0.25454494 -1.12136302 14.584351 -64.249368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12132136--1.12136302) × R
    4.16599999999434e-05 × 6371000     		dl = 265.415859999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12132136--1.12136302) × R
    4.16599999999434e-05 × 6371000     		dr = 265.415859999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25444906-0.25454494) × cos(-1.12132136) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.434492709553507 × 6371000     		do = 265.41051467995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25444906-0.25454494) × cos(-1.12136302) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.434455187041411 × 6371000     		du = 265.387593997903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12132136)-sin(-1.12136302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434492709553507-0.434455187041411)×R²
    abs(0.25454494-0.25444906)×3.75225120958222e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.75225120958222e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.75225120958222e-05×40589641000000     		ar = 70441.118260463m²