Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3542 / 2782
↖ ↑ ↗
← N 49.894634°
W 24.345703°		 ← 3 147.86 m → N 49.894634°
W 24.301758°		 →
↑
3 148.80 m
↓
↑
3 148.80 m
↓
N 49.866317°
W 24.345703°		 ← 3 149.70 m →
9 914 886 m²		 N 49.866317°
W 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43243408203125 y=0.33966064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43243408203125 × 213)
    floor (0.43243408203125 × 8192)
    floor (3542.5)     		tx = 3542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33966064453125 × 213)
    floor (0.33966064453125 × 8192)
    floor (2782.5)     		ty = 2782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3542 / 2782 ti = "13/3542/2782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3542/2782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3542 ÷ 213
    3542 ÷ 8192     		x = 0.432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2782 ÷ 213
    2782 ÷ 8192     		y = 0.339599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339599609375 × 2 - 1) × π
    0.32080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00782537761206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42491268} λ = -0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00782537761206))-π/2
    2×atan(2.73963685682764)-π/2
    2×1.22081098803036-π/2
    2.44162197606071-1.57079632675     		φ = 0.87082565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87082565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.894634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3542 KachelY 2782 -0.42491268 0.87082565 -24.345703 49.894634
    Oben rechts KachelX + 1 3543 KachelY 2782 -0.42414569 0.87082565 -24.301758 49.894634
    Unten links KachelX 3542 KachelY + 1 2783 -0.42491268 0.87033141 -24.345703 49.866317
    Unten rechts KachelX + 1 3543 KachelY + 1 2783 -0.42414569 0.87033141 -24.301758 49.866317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87082565-0.87033141) × R
    0.000494239999999979 × 6371000     		dl = 3148.80303999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87082565-0.87033141) × R
    0.000494239999999979 × 6371000     		dr = 3148.80303999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42491268--0.42414569) × cos(0.87082565) × R
    0.000766989999999967 × 0.644195259336399 × 6371000     		do = 3147.85581219699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42491268--0.42414569) × cos(0.87033141) × R
    0.000766989999999967 × 0.644573205580134 × 6371000     		du = 3149.70264398098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87082565)-sin(0.87033141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644195259336399-0.644573205580134)×R²
    abs(-0.42414569--0.42491268)×0.000377946243734995×R²
    0.000766989999999967×0.000377946243734995×6371000²
    0.000766989999999967×0.000377946243734995×40589641000000     		ar = 9914885.80752405m²