Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35416 / 47830
↖ ↑ ↗
← S 63.445598°
E 14.545898°		 ← 273.05 m → S 63.445598°
E 14.551391°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
S 63.448054°
E 14.545898°		 ← 273.03 m →
74 556 m²		 S 63.448054°
E 14.551391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540412902832031 y=0.729835510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540412902832031 × 216)
    floor (0.540412902832031 × 65536)
    floor (35416.5)     		tx = 35416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729835510253906 × 216)
    floor (0.729835510253906 × 65536)
    floor (47830.5)     		ty = 47830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35416 / 47830 ti = "16/35416/47830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35416/47830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35416 ÷ 216
    35416 ÷ 65536     		x = 0.5404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47830 ÷ 216
    47830 ÷ 65536     		y = 0.729827880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5404052734375 × 2 - 1) × π
    0.080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25387382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729827880859375 × 2 - 1) × π
    -0.45965576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44405116415457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25387382} λ = 0.25387382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44405116415457))-π/2
    2×atan(0.235969867037144)-π/2
    2×0.231730870897799-π/2
    0.463461741795599-1.57079632675     		φ = -1.10733458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25387382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10733458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.445598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35416 KachelY 47830 0.25387382 -1.10733458 14.545898 -63.445598
    Oben rechts KachelX + 1 35417 KachelY 47830 0.25396969 -1.10733458 14.551391 -63.445598
    Unten links KachelX 35416 KachelY + 1 47831 0.25387382 -1.10737744 14.545898 -63.448054
    Unten rechts KachelX + 1 35417 KachelY + 1 47831 0.25396969 -1.10737744 14.551391 -63.448054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10733458--1.10737744) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dl = 273.061059999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10733458--1.10737744) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dr = 273.061059999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25387382-0.25396969) × cos(-1.10733458) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.447047347565727 × 6371000     		do = 273.051052504238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25387382-0.25396969) × cos(-1.10737744) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.447009008443859 × 6371000     		du = 273.027635437488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10733458)-sin(-1.10737744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447047347565727-0.447009008443859)×R²
    abs(0.25396969-0.25387382)×3.83391218685136e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.83391218685136e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.83391218685136e-05×40589641000000     		ar = 74556.4126979707m²