Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35406 / 47931
↖ ↑ ↗
← S 63.692552°
E 14.490967°		 ← 270.72 m → S 63.692552°
E 14.496460°		 →
↑
270.70 m
↓
↑
270.70 m
↓
S 63.694987°
E 14.490967°		 ← 270.70 m →
73 282 m²		 S 63.694987°
E 14.496460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540260314941406 y=0.731376647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540260314941406 × 216)
    floor (0.540260314941406 × 65536)
    floor (35406.5)     		tx = 35406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731376647949219 × 216)
    floor (0.731376647949219 × 65536)
    floor (47931.5)     		ty = 47931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35406 / 47931 ti = "16/35406/47931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35406/47931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35406 ÷ 216
    35406 ÷ 65536     		x = 0.540252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47931 ÷ 216
    47931 ÷ 65536     		y = 0.731369018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540252685546875 × 2 - 1) × π
    0.08050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25291508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731369018554688 × 2 - 1) × π
    -0.462738037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45373441787782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25291508} λ = 0.25291508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45373441787782))-π/2
    2×atan(0.233695938226353)-π/2
    2×0.229575788079245-π/2
    0.45915157615849-1.57079632675     		φ = -1.11164475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25291508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.490967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11164475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.692552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35406 KachelY 47931 0.25291508 -1.11164475 14.490967 -63.692552
    Oben rechts KachelX + 1 35407 KachelY 47931 0.25301096 -1.11164475 14.496460 -63.692552
    Unten links KachelX 35406 KachelY + 1 47932 0.25291508 -1.11168724 14.490967 -63.694987
    Unten rechts KachelX + 1 35407 KachelY + 1 47932 0.25301096 -1.11168724 14.496460 -63.694987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11164475--1.11168724) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dl = 270.703790000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11164475--1.11168724) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dr = 270.703790000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25291508-0.25301096) × cos(-1.11164475) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44318771554305 × 6371000     		do = 270.721871957271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25291508-0.25301096) × cos(-1.11168724) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.443149625881973 × 6371000     		du = 270.698604831429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11164475)-sin(-1.11168724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44318771554305-0.443149625881973)×R²
    abs(0.25301096-0.25291508)×3.80896610772119e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80896610772119e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80896610772119e-05×40589641000000     		ar = 73282.2875360154m²