Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3540 / 4570
↖ ↑ ↗
← N 78.148039°
W141.108398°		 ← 250.89 m → N 78.148039°
W141.097412°		 →
↑
250.95 m
↓
↑
250.95 m
↓
N 78.145782°
W141.108398°		 ← 250.94 m →
62 968 m²		 N 78.145782°
W141.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108047485351562 y=0.139480590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108047485351562 × 215)
    floor (0.108047485351562 × 32768)
    floor (3540.5)     		tx = 3540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139480590820312 × 215)
    floor (0.139480590820312 × 32768)
    floor (4570.5)     		ty = 4570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3540 / 4570 ti = "15/3540/4570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3540/4570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3540 ÷ 215
    3540 ÷ 32768     		x = 0.1080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4570 ÷ 215
    4570 ÷ 32768     		y = 0.13946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1080322265625 × 2 - 1) × π
    -0.783935546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46280615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13946533203125 × 2 - 1) × π
    0.7210693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26530612844537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46280615} λ = -2.46280615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26530612844537))-π/2
    2×atan(9.63407341364629)-π/2
    2×1.46736845812486-π/2
    2.93473691624971-1.57079632675     		φ = 1.36394059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46280615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36394059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.148039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3540 KachelY 4570 -2.46280615 1.36394059 -141.108398 78.148039
    Oben rechts KachelX + 1 3541 KachelY 4570 -2.46261441 1.36394059 -141.097412 78.148039
    Unten links KachelX 3540 KachelY + 1 4571 -2.46280615 1.36390120 -141.108398 78.145782
    Unten rechts KachelX + 1 3541 KachelY + 1 4571 -2.46261441 1.36390120 -141.097412 78.145782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36394059-1.36390120) × R
    3.93899999999725e-05 × 6371000     		dl = 250.953689999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36394059-1.36390120) × R
    3.93899999999725e-05 × 6371000     		dr = 250.953689999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46280615--2.46261441) × cos(1.36394059) × R
    0.000191739999999996 × 0.205383687837359 × 6371000     		do = 250.891689377107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46280615--2.46261441) × cos(1.36390120) × R
    0.000191739999999996 × 0.205422237943554 × 6371000     		du = 250.9387812439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36394059)-sin(1.36390120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205383687837359-0.205422237943554)×R²
    abs(-2.46261441--2.46280615)×3.85501061954951e-05×R²
    0.000191739999999996×3.85501061954951e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.85501061954951e-05×40589641000000     		ar = 62968.104186134m²