Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3540 / 1839
↖ ↑ ↗
← N 69.915214°
W 24.433594°		 ← 1 678.07 m → N 69.915214°
W 24.389649°		 →
↑
1 678.69 m
↓
↑
1 678.69 m
↓
N 69.900118°
W 24.433594°		 ← 1 679.28 m →
2 817 986 m²		 N 69.900118°
W 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43218994140625 y=0.22454833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43218994140625 × 213)
    floor (0.43218994140625 × 8192)
    floor (3540.5)     		tx = 3540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22454833984375 × 213)
    floor (0.22454833984375 × 8192)
    floor (1839.5)     		ty = 1839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3540 / 1839 ti = "13/3540/1839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3540/1839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3540 ÷ 213
    3540 ÷ 8192     		x = 0.43212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1839 ÷ 213
    1839 ÷ 8192     		y = 0.2244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2244873046875 × 2 - 1) × π
    0.551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73109731907947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42644666} λ = -0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73109731907947))-π/2
    2×atan(5.64684690280674)-π/2
    2×1.39552350709719-π/2
    2.79104701419438-1.57079632675     		φ = 1.22025069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22025069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.915214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3540 KachelY 1839 -0.42644666 1.22025069 -24.433594 69.915214
    Oben rechts KachelX + 1 3541 KachelY 1839 -0.42567967 1.22025069 -24.389649 69.915214
    Unten links KachelX 3540 KachelY + 1 1840 -0.42644666 1.21998720 -24.433594 69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 3541 KachelY + 1 1840 -0.42567967 1.21998720 -24.389649 69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22025069-1.21998720) × R
    0.000263490000000033 × 6371000     		dl = 1678.69479000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22025069-1.21998720) × R
    0.000263490000000033 × 6371000     		dr = 1678.69479000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42644666--0.42567967) × cos(1.22025069) × R
    0.000766989999999967 × 0.343410312702587 × 6371000     		do = 1678.07218873792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42644666--0.42567967) × cos(1.21998720) × R
    0.000766989999999967 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 1679.28137132737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22025069)-sin(1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343410312702587-0.343657766759656)×R²
    abs(-0.42567967--0.42644666)×0.000247454057069108×R²
    0.000766989999999967×0.000247454057069108×6371000²
    0.000766989999999967×0.000247454057069108×40589641000000     		ar = 2817985.98103721m²