Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35399 / 103078
↖ ↑ ↗
← S 71.221381°
W 82.773742°		 ← 98.30 m → S 71.221381°
W 82.770996°		 →
↑
98.30 m
↓
↑
98.30 m
↓
S 71.222265°
W 82.773742°		 ← 98.30 m →
9 663 m²		 S 71.222265°
W 82.770996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.270076751708984 y=0.786426544189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.270076751708984 × 217)
    floor (0.270076751708984 × 131072)
    floor (35399.5)     		tx = 35399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786426544189453 × 217)
    floor (0.786426544189453 × 131072)
    floor (103078.5)     		ty = 103078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35399 / 103078 ti = "17/35399/103078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35399/103078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35399 ÷ 217
    35399 ÷ 131072     		x = 0.270072937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103078 ÷ 217
    103078 ÷ 131072     		y = 0.786422729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.270072937011719 × 2 - 1) × π
    -0.459854125976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.44467434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786422729492188 × 2 - 1) × π
    -0.572845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79964708553615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44467434} λ = -1.44467434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79964708553615))-π/2
    2×atan(0.165357234885184)-π/2
    2×0.163874365783218-π/2
    0.327748731566437-1.57079632675     		φ = -1.24304760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44467434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.773742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24304760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.221381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35399 KachelY 103078 -1.44467434 -1.24304760 -82.773742 -71.221381
    Oben rechts KachelX + 1 35400 KachelY 103078 -1.44462641 -1.24304760 -82.770996 -71.221381
    Unten links KachelX 35399 KachelY + 1 103079 -1.44467434 -1.24306303 -82.773742 -71.222265
    Unten rechts KachelX + 1 35400 KachelY + 1 103079 -1.44462641 -1.24306303 -82.770996 -71.222265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24304760--1.24306303) × R
    1.54300000001495e-05 × 6371000     		dl = 98.3045300009524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24304760--1.24306303) × R
    1.54300000001495e-05 × 6371000     		dr = 98.3045300009524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44467434--1.44462641) × cos(-1.24304760) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321912409252921 × 6371000     		do = 98.2998267717229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44467434--1.44462641) × cos(-1.24306303) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321897800561911 × 6371000     		du = 98.2953658321804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24304760)-sin(-1.24306303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321912409252921-0.321897800561911)×R²
    abs(-1.44462641--1.44467434)×1.46086910102206e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46086910102206e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46086910102206e-05×40589641000000     		ar = 9663.09900495395m²