Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35396 / 103091
↖ ↑ ↗
← S 71.232872°
W 82.781982°		 ← 98.24 m → S 71.232872°
W 82.779236°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
S 71.233755°
W 82.781982°		 ← 98.24 m →
9 651 m²		 S 71.233755°
W 82.779236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.270053863525391 y=0.786525726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.270053863525391 × 217)
    floor (0.270053863525391 × 131072)
    floor (35396.5)     		tx = 35396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786525726318359 × 217)
    floor (0.786525726318359 × 131072)
    floor (103091.5)     		ty = 103091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35396 / 103091 ti = "17/35396/103091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35396/103091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35396 ÷ 217
    35396 ÷ 131072     		x = 0.270050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103091 ÷ 217
    103091 ÷ 131072     		y = 0.786521911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.270050048828125 × 2 - 1) × π
    -0.45989990234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44481815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786521911621094 × 2 - 1) × π
    -0.573043823242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.80027026523121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44481815} λ = -1.44481815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80027026523121))-π/2
    2×atan(0.165254219715787)-π/2
    2×0.163774090728392-π/2
    0.327548181456784-1.57079632675     		φ = -1.24324815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44481815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.781982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24324815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.232872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35396 KachelY 103091 -1.44481815 -1.24324815 -82.781982 -71.232872
    Oben rechts KachelX + 1 35397 KachelY 103091 -1.44477022 -1.24324815 -82.779236 -71.232872
    Unten links KachelX 35396 KachelY + 1 103092 -1.44481815 -1.24326357 -82.781982 -71.233755
    Unten rechts KachelX + 1 35397 KachelY + 1 103092 -1.44477022 -1.24326357 -82.779236 -71.233755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24324815--1.24326357) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24324815--1.24326357) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44481815--1.44477022) × cos(-1.24324815) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.321722528166302 × 6371000     		do = 98.2418442971992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44481815--1.44477022) × cos(-1.24326357) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.321707927947845 × 6371000     		du = 98.2373859448526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24324815)-sin(-1.24326357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321722528166302-0.321707927947845)×R²
    abs(-1.44477022--1.44481815)×1.46002184576721e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.46002184576721e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.46002184576721e-05×40589641000000     		ar = 9651.14034616337m²