Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35391 / 47947
↖ ↑ ↗
← S 63.731478°
E 14.408570°		 ← 270.32 m → S 63.731478°
E 14.414063°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
S 63.733909°
E 14.408570°		 ← 270.30 m →
73 071 m²		 S 63.733909°
E 14.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540031433105469 y=0.731620788574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540031433105469 × 216)
    floor (0.540031433105469 × 65536)
    floor (35391.5)     		tx = 35391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731620788574219 × 216)
    floor (0.731620788574219 × 65536)
    floor (47947.5)     		ty = 47947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35391 / 47947 ti = "16/35391/47947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35391/47947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35391 ÷ 216
    35391 ÷ 65536     		x = 0.540023803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47947 ÷ 216
    47947 ÷ 65536     		y = 0.731613159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540023803710938 × 2 - 1) × π
    0.080047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25147698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731613159179688 × 2 - 1) × π
    -0.463226318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45526839866566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25147698} λ = 0.25147698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45526839866566))-π/2
    2×atan(0.233337727960992)-π/2
    2×0.229236100991481-π/2
    0.458472201982961-1.57079632675     		φ = -1.11232412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25147698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.408570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11232412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.731478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35391 KachelY 47947 0.25147698 -1.11232412 14.408570 -63.731478
    Oben rechts KachelX + 1 35392 KachelY 47947 0.25157285 -1.11232412 14.414063 -63.731478
    Unten links KachelX 35391 KachelY + 1 47948 0.25147698 -1.11236655 14.408570 -63.733909
    Unten rechts KachelX + 1 35392 KachelY + 1 47948 0.25157285 -1.11236655 14.414063 -63.733909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11232412--1.11236655) × R
    4.24299999999267e-05 × 6371000     		dl = 270.321529999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11232412--1.11236655) × R
    4.24299999999267e-05 × 6371000     		dr = 270.321529999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25147698-0.25157285) × cos(-1.11232412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442578606459856 × 6371000     		do = 270.321600089317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25147698-0.25157285) × cos(-1.11236655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442540557819782 × 6371000     		du = 270.298360445295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11232412)-sin(-1.11236655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442578606459856-0.442540557819782)×R²
    abs(0.25157285-0.25147698)×3.8048640073951e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8048640073951e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8048640073951e-05×40589641000000     		ar = 73070.6074511397m²