Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35390 / 47942
↖ ↑ ↗
← S 63.719319°
E 14.403076°		 ← 270.47 m → S 63.719319°
E 14.408570°		 →
↑
270.45 m
↓
↑
270.45 m
↓
S 63.721752°
E 14.403076°		 ← 270.44 m →
73 144 m²		 S 63.721752°
E 14.408570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540016174316406 y=0.731544494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540016174316406 × 216)
    floor (0.540016174316406 × 65536)
    floor (35390.5)     		tx = 35390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731544494628906 × 216)
    floor (0.731544494628906 × 65536)
    floor (47942.5)     		ty = 47942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35390 / 47942 ti = "16/35390/47942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35390/47942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35390 ÷ 216
    35390 ÷ 65536     		x = 0.540008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47942 ÷ 216
    47942 ÷ 65536     		y = 0.731536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540008544921875 × 2 - 1) × π
    0.08001708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25138110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731536865234375 × 2 - 1) × π
    -0.46307373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45478902966946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25138110} λ = 0.25138110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45478902966946))-π/2
    2×atan(0.233449609647584)-π/2
    2×0.22934220302392-π/2
    0.45868440604784-1.57079632675     		φ = -1.11211192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25138110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.403076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11211192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.719319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35390 KachelY 47942 0.25138110 -1.11211192 14.403076 -63.719319
    Oben rechts KachelX + 1 35391 KachelY 47942 0.25147698 -1.11211192 14.408570 -63.719319
    Unten links KachelX 35390 KachelY + 1 47943 0.25138110 -1.11215437 14.403076 -63.721752
    Unten rechts KachelX + 1 35391 KachelY + 1 47943 0.25147698 -1.11215437 14.408570 -63.721752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11211192--1.11215437) × R
    4.24500000000272e-05 × 6371000     		dl = 270.448950000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11211192--1.11215437) × R
    4.24500000000272e-05 × 6371000     		dr = 270.448950000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25138110-0.25147698) × cos(-1.11211192) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.442768882538999 × 6371000     		do = 270.466027196873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25138110-0.25147698) × cos(-1.11215437) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44273081995134 × 6371000     		du = 270.442776608869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11211192)-sin(-1.11215437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442768882538999-0.44273081995134)×R²
    abs(0.25147698-0.25138110)×3.80625876589269e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80625876589269e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80625876589269e-05×40589641000000     		ar = 73144.1090283937m²