Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3539 / 575
↖ ↑ ↗
← N 78.080156°
E131.044922°		 ← 2 018.56 m → N 78.080156°
E131.132813°		 →
↑
2 020.05 m
↓
↑
2 020.05 m
↓
N 78.061989°
E131.044922°		 ← 2 021.59 m →
4 080 652 m²		 N 78.061989°
E131.132813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8641357421875 y=0.1405029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8641357421875 × 212)
    floor (0.8641357421875 × 4096)
    floor (3539.5)     		tx = 3539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1405029296875 × 212)
    floor (0.1405029296875 × 4096)
    floor (575.5)     		ty = 575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3539 / 575 ti = "12/3539/575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3539/575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3539 ÷ 212
    3539 ÷ 4096     		x = 0.864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 575 ÷ 212
    575 ÷ 4096     		y = 0.140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864013671875 × 2 - 1) × π
    0.72802734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.28716535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140380859375 × 2 - 1) × π
    0.71923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25955370049097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.28716535} λ = 2.28716535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25955370049097))-π/2
    2×atan(9.5788131930277)-π/2
    2×1.46677606486602-π/2
    2.93355212973203-1.57079632675     		φ = 1.36275580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.28716535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.044922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36275580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.080156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3539 KachelY 575 2.28716535 1.36275580 131.044922 78.080156
    Oben rechts KachelX + 1 3540 KachelY 575 2.28869934 1.36275580 131.132813 78.080156
    Unten links KachelX 3539 KachelY + 1 576 2.28716535 1.36243873 131.044922 78.061989
    Unten rechts KachelX + 1 3540 KachelY + 1 576 2.28869934 1.36243873 131.132813 78.061989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36275580-1.36243873) × R
    0.000317069999999919 × 6371000     		dl = 2020.05296999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36275580-1.36243873) × R
    0.000317069999999919 × 6371000     		dr = 2020.05296999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.28716535-2.28869934) × cos(1.36275580) × R
    0.00153398999999999 × 0.206543075506861 × 6371000     		do = 2018.5558639798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.28716535-2.28869934) × cos(1.36243873) × R
    0.00153398999999999 × 0.206853298300232 × 6371000     		du = 2021.58768694052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36275580)-sin(1.36243873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206543075506861-0.206853298300232)×R²
    abs(2.28869934-2.28716535)×0.000310222793371839×R²
    0.00153398999999999×0.000310222793371839×6371000²
    0.00153398999999999×0.000310222793371839×40589641000000     		ar = 4080652.02381748m²