Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3539 / 4559
↖ ↑ ↗
← N 78.172834°
W141.119385°		 ← 250.39 m → N 78.172834°
W141.108398°		 →
↑
250.38 m
↓
↑
250.38 m
↓
N 78.170582°
W141.119385°		 ← 250.43 m →
62 698 m²		 N 78.170582°
W141.108398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108016967773438 y=0.139144897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108016967773438 × 215)
    floor (0.108016967773438 × 32768)
    floor (3539.5)     		tx = 3539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139144897460938 × 215)
    floor (0.139144897460938 × 32768)
    floor (4559.5)     		ty = 4559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3539 / 4559 ti = "15/3539/4559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3539/4559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3539 ÷ 215
    3539 ÷ 32768     		x = 0.108001708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4559 ÷ 215
    4559 ÷ 32768     		y = 0.139129638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108001708984375 × 2 - 1) × π
    -0.78399658203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46299790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139129638671875 × 2 - 1) × π
    0.72174072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26741535202866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46299790} λ = -2.46299790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26741535202866))-π/2
    2×atan(9.65441527371748)-π/2
    2×1.46758483477219-π/2
    2.93516966954439-1.57079632675     		φ = 1.36437334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46299790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.119385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36437334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.172834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3539 KachelY 4559 -2.46299790 1.36437334 -141.119385 78.172834
    Oben rechts KachelX + 1 3540 KachelY 4559 -2.46280615 1.36437334 -141.108398 78.172834
    Unten links KachelX 3539 KachelY + 1 4560 -2.46299790 1.36433404 -141.119385 78.170582
    Unten rechts KachelX + 1 3540 KachelY + 1 4560 -2.46280615 1.36433404 -141.108398 78.170582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36437334-1.36433404) × R
    3.93000000000754e-05 × 6371000     		dl = 250.38030000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36437334-1.36433404) × R
    3.93000000000754e-05 × 6371000     		dr = 250.38030000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46299790--2.46280615) × cos(1.36437334) × R
    0.000191749999999935 × 0.204960144186308 × 6371000     		do = 250.387356823569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46299790--2.46280615) × cos(1.36433404) × R
    0.000191749999999935 × 0.204998609701595 × 6371000     		du = 250.434347806814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36437334)-sin(1.36433404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204960144186308-0.204998609701595)×R²
    abs(-2.46280615--2.46299790)×3.84655152863844e-05×R²
    0.000191749999999935×3.84655152863844e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.84655152863844e-05×40589641000000     		ar = 62697.9443345738m²