Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3539 / 2676
↖ ↑ ↗
← N 52.802761°
W 24.477539°		 ← 2 954.18 m → N 52.802761°
W 24.433594°		 →
↑
2 955.06 m
↓
↑
2 955.06 m
↓
N 52.776186°
W 24.477539°		 ← 2 955.99 m →
8 732 455 m²		 N 52.776186°
W 24.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43206787109375 y=0.32672119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43206787109375 × 213)
    floor (0.43206787109375 × 8192)
    floor (3539.5)     		tx = 3539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32672119140625 × 213)
    floor (0.32672119140625 × 8192)
    floor (2676.5)     		ty = 2676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3539 / 2676 ti = "13/3539/2676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3539/2676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3539 ÷ 213
    3539 ÷ 8192     		x = 0.4320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2676 ÷ 213
    2676 ÷ 8192     		y = 0.32666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4320068359375 × 2 - 1) × π
    -0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32666015625 × 2 - 1) × π
    0.3466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08912635936768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42721365} λ = -0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08912635936768))-π/2
    2×atan(2.97167676060544)-π/2
    2×1.24618918381009-π/2
    2.49237836762017-1.57079632675     		φ = 0.92158204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92158204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.802761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3539 KachelY 2676 -0.42721365 0.92158204 -24.477539 52.802761
    Oben rechts KachelX + 1 3540 KachelY 2676 -0.42644666 0.92158204 -24.433594 52.802761
    Unten links KachelX 3539 KachelY + 1 2677 -0.42721365 0.92111821 -24.477539 52.776186
    Unten rechts KachelX + 1 3540 KachelY + 1 2677 -0.42644666 0.92111821 -24.433594 52.776186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92158204-0.92111821) × R
    0.000463829999999943 × 6371000     		dl = 2955.06092999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92158204-0.92111821) × R
    0.000463829999999943 × 6371000     		dr = 2955.06092999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42721365--0.42644666) × cos(0.92158204) × R
    0.000766990000000023 × 0.604560725443044 × 6371000     		do = 2954.18192827506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42721365--0.42644666) × cos(0.92111821) × R
    0.000766990000000023 × 0.604930128384539 × 6371000     		du = 2955.98701326998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92158204)-sin(0.92111821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604560725443044-0.604930128384539)×R²
    abs(-0.42644666--0.42721365)×0.000369402941494568×R²
    0.000766990000000023×0.000369402941494568×6371000²
    0.000766990000000023×0.000369402941494568×40589641000000     		ar = 8732454.82098339m²