Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3538 / 4558
↖ ↑ ↗
← N 78.175086°
W141.130371°		 ← 250.34 m → N 78.175086°
W141.119385°		 →
↑
250.38 m
↓
↑
250.38 m
↓
N 78.172834°
W141.130371°		 ← 250.39 m →
62 686 m²		 N 78.172834°
W141.119385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107986450195312 y=0.139114379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107986450195312 × 215)
    floor (0.107986450195312 × 32768)
    floor (3538.5)     		tx = 3538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139114379882812 × 215)
    floor (0.139114379882812 × 32768)
    floor (4558.5)     		ty = 4558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3538 / 4558 ti = "15/3538/4558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3538/4558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3538 ÷ 215
    3538 ÷ 32768     		x = 0.10797119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4558 ÷ 215
    4558 ÷ 32768     		y = 0.13909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10797119140625 × 2 - 1) × π
    -0.7840576171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46318965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13909912109375 × 2 - 1) × π
    0.7218017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26760709962714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46318965} λ = -2.46318965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26760709962714))-π/2
    2×atan(9.65626666215491)-π/2
    2×1.46760448323581-π/2
    2.93520896647161-1.57079632675     		φ = 1.36441264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46318965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36441264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.175086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3538 KachelY 4558 -2.46318965 1.36441264 -141.130371 78.175086
    Oben rechts KachelX + 1 3539 KachelY 4558 -2.46299790 1.36441264 -141.119385 78.175086
    Unten links KachelX 3538 KachelY + 1 4559 -2.46318965 1.36437334 -141.130371 78.172834
    Unten rechts KachelX + 1 3539 KachelY + 1 4559 -2.46299790 1.36437334 -141.119385 78.172834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36441264-1.36437334) × R
    3.93000000000754e-05 × 6371000     		dl = 250.38030000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36441264-1.36437334) × R
    3.93000000000754e-05 × 6371000     		dr = 250.38030000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46318965--2.46299790) × cos(1.36441264) × R
    0.000191749999999935 × 0.204921678354463 × 6371000     		do = 250.340365453603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46318965--2.46299790) × cos(1.36437334) × R
    0.000191749999999935 × 0.204960144186308 × 6371000     		du = 250.387356823569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36441264)-sin(1.36437334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204921678354463-0.204960144186308)×R²
    abs(-2.46299790--2.46318965)×3.84658318452469e-05×R²
    0.000191749999999935×3.84658318452469e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.84658318452469e-05×40589641000000     		ar = 62686.1786695575m²