Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3538 / 2769
↖ ↑ ↗
← N 75.753534°
W102.260742°		 ← 601.27 m → N 75.753534°
W102.238769°		 →
↑
601.42 m
↓
↑
601.42 m
↓
N 75.748125°
W102.260742°		 ← 601.50 m →
361 687 m²		 N 75.748125°
W102.238769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215972900390625 y=0.169036865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215972900390625 × 214)
    floor (0.215972900390625 × 16384)
    floor (3538.5)     		tx = 3538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169036865234375 × 214)
    floor (0.169036865234375 × 16384)
    floor (2769.5)     		ty = 2769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3538 / 2769 ti = "14/3538/2769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3538/2769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3538 ÷ 214
    3538 ÷ 16384     		x = 0.2159423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2769 ÷ 214
    2769 ÷ 16384     		y = 0.16900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2159423828125 × 2 - 1) × π
    -0.568115234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.78478665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16900634765625 × 2 - 1) × π
    0.6619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.07969445311652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78478665} λ = -1.78478665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07969445311652))-π/2
    2×atan(8.00202354737179)-π/2
    2×1.44647245599472-π/2
    2.89294491198944-1.57079632675     		φ = 1.32214859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78478665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32214859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.753534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3538 KachelY 2769 -1.78478665 1.32214859 -102.260742 75.753534
    Oben rechts KachelX + 1 3539 KachelY 2769 -1.78440315 1.32214859 -102.238769 75.753534
    Unten links KachelX 3538 KachelY + 1 2770 -1.78478665 1.32205419 -102.260742 75.748125
    Unten rechts KachelX + 1 3539 KachelY + 1 2770 -1.78440315 1.32205419 -102.238769 75.748125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32214859-1.32205419) × R
    9.440000000005e-05 × 6371000     		dl = 601.422400000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32214859-1.32205419) × R
    9.440000000005e-05 × 6371000     		dr = 601.422400000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78478665--1.78440315) × cos(1.32214859) × R
    0.000383500000000092 × 0.246093508833635 × 6371000     		do = 601.274979122925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78478665--1.78440315) × cos(1.32205419) × R
    0.000383500000000092 × 0.246185004567975 × 6371000     		du = 601.49852868348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32214859)-sin(1.32205419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246093508833635-0.246185004567975)×R²
    abs(-1.78440315--1.78478665)×9.14957343402245e-05×R²
    0.000383500000000092×9.14957343402245e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.14957343402245e-05×40589641000000     		ar = 361687.465129409m²