Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35379 / 102929
↖ ↑ ↗
← S 71.089195°
W 82.828674°		 ← 98.99 m → S 71.089195°
W 82.825927°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
S 71.090085°
W 82.828674°		 ← 98.98 m →
9 800 m²		 S 71.090085°
W 82.825927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269924163818359 y=0.785289764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269924163818359 × 217)
    floor (0.269924163818359 × 131072)
    floor (35379.5)     		tx = 35379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785289764404297 × 217)
    floor (0.785289764404297 × 131072)
    floor (102929.5)     		ty = 102929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35379 / 102929 ti = "17/35379/102929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35379/102929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35379 ÷ 217
    35379 ÷ 131072     		x = 0.269920349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102929 ÷ 217
    102929 ÷ 131072     		y = 0.785285949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269920349121094 × 2 - 1) × π
    -0.460159301757812 × 3.1415926535     		Λ = -1.44563308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785285949707031 × 2 - 1) × π
    -0.570571899414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.79250448749276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44563308} λ = -1.44563308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79250448749276))-π/2
    2×atan(0.166542543198749)-π/2
    2×0.16502790620472-π/2
    0.33005581240944-1.57079632675     		φ = -1.24074051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44563308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.828674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24074051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.089195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35379 KachelY 102929 -1.44563308 -1.24074051 -82.828674 -71.089195
    Oben rechts KachelX + 1 35380 KachelY 102929 -1.44558514 -1.24074051 -82.825927 -71.089195
    Unten links KachelX 35379 KachelY + 1 102930 -1.44563308 -1.24075605 -82.828674 -71.090085
    Unten rechts KachelX + 1 35380 KachelY + 1 102930 -1.44558514 -1.24075605 -82.825927 -71.090085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24074051--1.24075605) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dl = 99.0053400009372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24074051--1.24075605) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dr = 99.0053400009372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44563308--1.44558514) × cos(-1.24074051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324095832941513 × 6371000     		do = 98.987209607013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44563308--1.44558514) × cos(-1.24075605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324081131685457 × 6371000     		du = 98.9827194650033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24074051)-sin(-1.24075605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324095832941513-0.324081131685457)×R²
    abs(-1.44558514--1.44563308)×1.4701256055627e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4701256055627e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4701256055627e-05×40589641000000     		ar = 9800.04006897006m²