Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35378 / 102918
↖ ↑ ↗
← S 71.079401°
W 82.831421°		 ← 99.04 m → S 71.079401°
W 82.828674°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
S 71.080292°
W 82.831421°		 ← 99.03 m →
9 811 m²		 S 71.080292°
W 82.828674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269916534423828 y=0.785205841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269916534423828 × 217)
    floor (0.269916534423828 × 131072)
    floor (35378.5)     		tx = 35378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785205841064453 × 217)
    floor (0.785205841064453 × 131072)
    floor (102918.5)     		ty = 102918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35378 / 102918 ti = "17/35378/102918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35378/102918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35378 ÷ 217
    35378 ÷ 131072     		x = 0.269912719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102918 ÷ 217
    102918 ÷ 131072     		y = 0.785202026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269912719726562 × 2 - 1) × π
    -0.460174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.44568102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785202026367188 × 2 - 1) × π
    -0.570404052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79197718159694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44568102} λ = -1.44568102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79197718159694))-π/2
    2×atan(0.166630385221456)-π/2
    2×0.165113376341338-π/2
    0.330226752682675-1.57079632675     		φ = -1.24056957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44568102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.831421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24056957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.079401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35378 KachelY 102918 -1.44568102 -1.24056957 -82.831421 -71.079401
    Oben rechts KachelX + 1 35379 KachelY 102918 -1.44563308 -1.24056957 -82.828674 -71.079401
    Unten links KachelX 35378 KachelY + 1 102919 -1.44568102 -1.24058512 -82.831421 -71.080292
    Unten rechts KachelX + 1 35379 KachelY + 1 102919 -1.44563308 -1.24058512 -82.828674 -71.080292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24056957--1.24058512) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dl = 99.06905000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24056957--1.24058512) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dr = 99.06905000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44568102--1.44563308) × cos(-1.24056957) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.324257541591759 × 6371000     		do = 99.0365995916374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44568102--1.44563308) × cos(-1.24058512) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.32424283173709 × 6371000     		du = 99.0321068233899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24056957)-sin(-1.24058512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324257541591759-0.32424283173709)×R²
    abs(-1.44563308--1.44568102)×1.47098546685043e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.47098546685043e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.47098546685043e-05×40589641000000     		ar = 9811.23928986575m²