Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35377 / 103107
↖ ↑ ↗
← S 71.247004°
W 82.834168°		 ← 98.19 m → S 71.247004°
W 82.831421°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
S 71.247887°
W 82.834168°		 ← 98.19 m →
9 640 m²		 S 71.247887°
W 82.831421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269908905029297 y=0.786647796630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269908905029297 × 217)
    floor (0.269908905029297 × 131072)
    floor (35377.5)     		tx = 35377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786647796630859 × 217)
    floor (0.786647796630859 × 131072)
    floor (103107.5)     		ty = 103107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35377 / 103107 ti = "17/35377/103107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35377/103107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35377 ÷ 217
    35377 ÷ 131072     		x = 0.269905090332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103107 ÷ 217
    103107 ÷ 131072     		y = 0.786643981933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269905090332031 × 2 - 1) × π
    -0.460189819335938 × 3.1415926535     		Λ = -1.44572896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786643981933594 × 2 - 1) × π
    -0.573287963867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.80103725562513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44572896} λ = -1.44572896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80103725562513))-π/2
    2×atan(0.165127519911687)-π/2
    2×0.163650756472509-π/2
    0.327301512945018-1.57079632675     		φ = -1.24349481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44572896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.834168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24349481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.247004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35377 KachelY 103107 -1.44572896 -1.24349481 -82.834168 -71.247004
    Oben rechts KachelX + 1 35378 KachelY 103107 -1.44568102 -1.24349481 -82.831421 -71.247004
    Unten links KachelX 35377 KachelY + 1 103108 -1.44572896 -1.24351022 -82.834168 -71.247887
    Unten rechts KachelX + 1 35378 KachelY + 1 103108 -1.44568102 -1.24351022 -82.831421 -71.247887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24349481--1.24351022) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dl = 98.1771100003122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24349481--1.24351022) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dr = 98.1771100003122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44572896--1.44568102) × cos(-1.24349481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321488972308377 × 6371000     		do = 98.1910072690611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44572896--1.44568102) × cos(-1.24351022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321474380335903 × 6371000     		du = 98.1865505050702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24349481)-sin(-1.24351022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321488972308377-0.321474380335903)×R²
    abs(-1.44568102--1.44572896)×1.45919724737764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45919724737764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45919724737764e-05×40589641000000     		ar = 9639.89054577037m²