Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35375 / 103108
↖ ↑ ↗
← S 71.247887°
W 82.839661°		 ← 98.19 m → S 71.247887°
W 82.836914°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
S 71.248770°
W 82.839661°		 ← 98.18 m →
9 639 m²		 S 71.248770°
W 82.836914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269893646240234 y=0.786655426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269893646240234 × 217)
    floor (0.269893646240234 × 131072)
    floor (35375.5)     		tx = 35375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786655426025391 × 217)
    floor (0.786655426025391 × 131072)
    floor (103108.5)     		ty = 103108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35375 / 103108 ti = "17/35375/103108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35375/103108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35375 ÷ 217
    35375 ÷ 131072     		x = 0.269889831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103108 ÷ 217
    103108 ÷ 131072     		y = 0.786651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269889831542969 × 2 - 1) × π
    -0.460220336914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.44582483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.57330322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80108519252475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44582483} λ = -1.44582483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80108519252475))-π/2
    2×atan(0.165119604400065)-π/2
    2×0.163643051055183-π/2
    0.327286102110367-1.57079632675     		φ = -1.24351022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44582483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.839661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24351022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.247887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35375 KachelY 103108 -1.44582483 -1.24351022 -82.839661 -71.247887
    Oben rechts KachelX + 1 35376 KachelY 103108 -1.44577689 -1.24351022 -82.836914 -71.247887
    Unten links KachelX 35375 KachelY + 1 103109 -1.44582483 -1.24352563 -82.839661 -71.248770
    Unten rechts KachelX + 1 35376 KachelY + 1 103109 -1.44577689 -1.24352563 -82.836914 -71.248770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24351022--1.24352563) × R
    1.5409999999827e-05 × 6371000     		dl = 98.1771099988975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24351022--1.24352563) × R
    1.5409999999827e-05 × 6371000     		dr = 98.1771099988975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44582483--1.44577689) × cos(-1.24351022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321474380335903 × 6371000     		do = 98.1865505050702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44582483--1.44577689) × cos(-1.24352563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321459788287089 × 6371000     		du = 98.1820937177632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24351022)-sin(-1.24352563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321474380335903-0.321459788287089)×R²
    abs(-1.44577689--1.44582483)×1.45920488134887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45920488134887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45920488134887e-05×40589641000000     		ar = 9639.45299215829m²