Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35374 / 102926
↖ ↑ ↗
← S 71.086524°
W 82.842407°		 ← 99 m → S 71.086524°
W 82.839661°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
S 71.087415°
W 82.842407°		 ← 99 m →
9 801 m²		 S 71.087415°
W 82.839661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269886016845703 y=0.785266876220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269886016845703 × 217)
    floor (0.269886016845703 × 131072)
    floor (35374.5)     		tx = 35374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785266876220703 × 217)
    floor (0.785266876220703 × 131072)
    floor (102926.5)     		ty = 102926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35374 / 102926 ti = "17/35374/102926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35374/102926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35374 ÷ 217
    35374 ÷ 131072     		x = 0.269882202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102926 ÷ 217
    102926 ÷ 131072     		y = 0.785263061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269882202148438 × 2 - 1) × π
    -0.460235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44587277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785263061523438 × 2 - 1) × π
    -0.570526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7923606767939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44587277} λ = -1.44587277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7923606767939))-π/2
    2×atan(0.166566495520535)-π/2
    2×0.165051212013853-π/2
    0.330102424027706-1.57079632675     		φ = -1.24069390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44587277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.842407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24069390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.086524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35374 KachelY 102926 -1.44587277 -1.24069390 -82.842407 -71.086524
    Oben rechts KachelX + 1 35375 KachelY 102926 -1.44582483 -1.24069390 -82.839661 -71.086524
    Unten links KachelX 35374 KachelY + 1 102927 -1.44587277 -1.24070944 -82.842407 -71.087415
    Unten rechts KachelX + 1 35375 KachelY + 1 102927 -1.44582483 -1.24070944 -82.839661 -71.087415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24069390--1.24070944) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dl = 99.0053400009372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24069390--1.24070944) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dr = 99.0053400009372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44587277--1.44582483) × cos(-1.24069390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324139926779975 × 6371000     		do = 99.0006770002548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44587277--1.44582483) × cos(-1.24070944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324125225758679 × 6371000     		du = 98.9961869299467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24069390)-sin(-1.24070944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324139926779975-0.324125225758679)×R²
    abs(-1.44582483--1.44587277)×1.47010212960819e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47010212960819e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47010212960819e-05×40589641000000     		ar = 9801.37341642292m²