Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35374 / 102921
↖ ↑ ↗
← S 71.082072°
W 82.842407°		 ← 99.02 m → S 71.082072°
W 82.839661°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
S 71.082963°
W 82.842407°		 ← 99.02 m →
9 804 m²		 S 71.082963°
W 82.839661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269886016845703 y=0.785228729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269886016845703 × 217)
    floor (0.269886016845703 × 131072)
    floor (35374.5)     		tx = 35374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785228729248047 × 217)
    floor (0.785228729248047 × 131072)
    floor (102921.5)     		ty = 102921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35374 / 102921 ti = "17/35374/102921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35374/102921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35374 ÷ 217
    35374 ÷ 131072     		x = 0.269882202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102921 ÷ 217
    102921 ÷ 131072     		y = 0.785224914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269882202148438 × 2 - 1) × π
    -0.460235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44587277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785224914550781 × 2 - 1) × π
    -0.570449829101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.7921209922958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44587277} λ = -1.44587277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7921209922958))-π/2
    2×atan(0.166606423712308)-π/2
    2×0.16509006207567-π/2
    0.33018012415134-1.57079632675     		φ = -1.24061620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44587277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.842407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24061620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.082072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35374 KachelY 102921 -1.44587277 -1.24061620 -82.842407 -71.082072
    Oben rechts KachelX + 1 35375 KachelY 102921 -1.44582483 -1.24061620 -82.839661 -71.082072
    Unten links KachelX 35374 KachelY + 1 102922 -1.44587277 -1.24063174 -82.842407 -71.082963
    Unten rechts KachelX + 1 35375 KachelY + 1 102922 -1.44582483 -1.24063174 -82.839661 -71.082963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24061620--1.24063174) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dl = 99.0053399995225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24061620--1.24063174) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dr = 99.0053399995225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44587277--1.44582483) × cos(-1.24061620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324213430712228 × 6371000     		do = 99.0231269931559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44587277--1.44582483) × cos(-1.24063174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324198730082353 × 6371000     		du = 99.0186370423979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24061620)-sin(-1.24063174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324213430712228-0.324198730082353)×R²
    abs(-1.44582483--1.44587277)×1.47006298750196e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47006298750196e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47006298750196e-05×40589641000000     		ar = 9803.59609136656m²