Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35372 / 102949
↖ ↑ ↗
← S 71.106990°
W 82.847900°		 ← 98.90 m → S 71.106990°
W 82.845154°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
S 71.107879°
W 82.847900°		 ← 98.89 m →
9 779 m²		 S 71.107879°
W 82.845154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269870758056641 y=0.785442352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269870758056641 × 217)
    floor (0.269870758056641 × 131072)
    floor (35372.5)     		tx = 35372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785442352294922 × 217)
    floor (0.785442352294922 × 131072)
    floor (102949.5)     		ty = 102949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35372 / 102949 ti = "17/35372/102949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35372/102949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35372 ÷ 217
    35372 ÷ 131072     		x = 0.269866943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102949 ÷ 217
    102949 ÷ 131072     		y = 0.785438537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269866943359375 × 2 - 1) × π
    -0.46026611328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44596864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785438537597656 × 2 - 1) × π
    -0.570877075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.79346322548516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44596864} λ = -1.44596864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79346322548516))-π/2
    2×atan(0.166382949051944)-π/2
    2×0.164872615149413-π/2
    0.329745230298826-1.57079632675     		φ = -1.24105110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44596864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.847900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24105110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.106990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35372 KachelY 102949 -1.44596864 -1.24105110 -82.847900 -71.106990
    Oben rechts KachelX + 1 35373 KachelY 102949 -1.44592070 -1.24105110 -82.845154 -71.106990
    Unten links KachelX 35372 KachelY + 1 102950 -1.44596864 -1.24106662 -82.847900 -71.107879
    Unten rechts KachelX + 1 35373 KachelY + 1 102950 -1.44592070 -1.24106662 -82.845154 -71.107879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24105110--1.24106662) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dl = 98.8779200002969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24105110--1.24106662) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dr = 98.8779200002969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44596864--1.44592070) × cos(-1.24105110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323801991640735 × 6371000     		do = 98.8974629102804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44596864--1.44592070) × cos(-1.24106662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323787307743751 × 6371000     		du = 98.892978070178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24105110)-sin(-1.24106662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323801991640735-0.323787307743751)×R²
    abs(-1.44592070--1.44596864)×1.46838969837249e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46838969837249e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46838969837249e-05×40589641000000     		ar = 9778.55370018746m²