Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35372 / 102932
↖ ↑ ↗
← S 71.091865°
W 82.847900°		 ← 98.97 m → S 71.091865°
W 82.845154°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
S 71.092755°
W 82.847900°		 ← 98.97 m →
9 792 m²		 S 71.092755°
W 82.845154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269870758056641 y=0.785312652587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269870758056641 × 217)
    floor (0.269870758056641 × 131072)
    floor (35372.5)     		tx = 35372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785312652587891 × 217)
    floor (0.785312652587891 × 131072)
    floor (102932.5)     		ty = 102932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35372 / 102932 ti = "17/35372/102932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35372/102932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35372 ÷ 217
    35372 ÷ 131072     		x = 0.269866943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102932 ÷ 217
    102932 ÷ 131072     		y = 0.785308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269866943359375 × 2 - 1) × π
    -0.46026611328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44596864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.57061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79264829819162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44596864} λ = -1.44596864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79264829819162))-π/2
    2×atan(0.166518594321315)-π/2
    2×0.16500460356609-π/2
    0.330009207132179-1.57079632675     		φ = -1.24078712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44596864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.847900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24078712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.091865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35372 KachelY 102932 -1.44596864 -1.24078712 -82.847900 -71.091865
    Oben rechts KachelX + 1 35373 KachelY 102932 -1.44592070 -1.24078712 -82.845154 -71.091865
    Unten links KachelX 35372 KachelY + 1 102933 -1.44596864 -1.24080265 -82.847900 -71.092755
    Unten rechts KachelX + 1 35373 KachelY + 1 102933 -1.44592070 -1.24080265 -82.845154 -71.092755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24078712--1.24080265) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24078712--1.24080265) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44596864--1.44592070) × cos(-1.24078712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324051738398955 × 6371000     		do = 98.9737419987223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44596864--1.44592070) × cos(-1.24080265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324037046368616 × 6371000     		du = 98.9692546744839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24078712)-sin(-1.24080265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324051738398955-0.324037046368616)×R²
    abs(-1.44592070--1.44596864)×1.46920303391584e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46920303391584e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46920303391584e-05×40589641000000     		ar = 9792.40136922245m²