Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3537 / 2799
↖ ↑ ↗
← N 49.410973°
W 24.565430°		 ← 3 179.29 m → N 49.410973°
W 24.521484°		 →
↑
3 180.21 m
↓
↑
3 180.21 m
↓
N 49.382373°
W 24.565430°		 ← 3 181.15 m →
10 113 772 m²		 N 49.382373°
W 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43182373046875 y=0.34173583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43182373046875 × 213)
    floor (0.43182373046875 × 8192)
    floor (3537.5)     		tx = 3537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34173583984375 × 213)
    floor (0.34173583984375 × 8192)
    floor (2799.5)     		ty = 2799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3537 / 2799 ti = "13/3537/2799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3537/2799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3537 ÷ 213
    3537 ÷ 8192     		x = 0.4317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2799 ÷ 213
    2799 ÷ 8192     		y = 0.3416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3416748046875 × 2 - 1) × π
    0.316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.994786540915405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42874763} λ = -0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994786540915405))-π/2
    2×atan(2.70414705491318)-π/2
    2×1.21659024786288-π/2
    2.43318049572577-1.57079632675     		φ = 0.86238417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86238417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.410973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3537 KachelY 2799 -0.42874763 0.86238417 -24.565430 49.410973
    Oben rechts KachelX + 1 3538 KachelY 2799 -0.42798064 0.86238417 -24.521484 49.410973
    Unten links KachelX 3537 KachelY + 1 2800 -0.42874763 0.86188500 -24.565430 49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 3538 KachelY + 1 2800 -0.42798064 0.86188500 -24.521484 49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86238417-0.86188500) × R
    0.000499169999999993 × 6371000     		dl = 3180.21206999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86238417-0.86188500) × R
    0.000499169999999993 × 6371000     		dr = 3180.21206999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42874763--0.42798064) × cos(0.86238417) × R
    0.000766989999999967 × 0.650628790059247 × 6371000     		do = 3179.2932169052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42874763--0.42798064) × cos(0.86188500) × R
    0.000766989999999967 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 3181.14513234162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86238417)-sin(0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650628790059247-0.651007776650759)×R²
    abs(-0.42798064--0.42874763)×0.000378986591512032×R²
    0.000766989999999967×0.000378986591512032×6371000²
    0.000766989999999967×0.000378986591512032×40589641000000     		ar = 10113771.6143847m²