Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35369 / 102908
↖ ↑ ↗
← S 71.070493°
W 82.856140°		 ← 99.08 m → S 71.070493°
W 82.853393°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
S 71.071384°
W 82.856140°		 ← 99.08 m →
9 816 m²		 S 71.071384°
W 82.853393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269847869873047 y=0.785129547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269847869873047 × 217)
    floor (0.269847869873047 × 131072)
    floor (35369.5)     		tx = 35369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785129547119141 × 217)
    floor (0.785129547119141 × 131072)
    floor (102908.5)     		ty = 102908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35369 / 102908 ti = "17/35369/102908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35369/102908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35369 ÷ 217
    35369 ÷ 131072     		x = 0.269844055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102908 ÷ 217
    102908 ÷ 131072     		y = 0.785125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269844055175781 × 2 - 1) × π
    -0.460311889648438 × 3.1415926535     		Λ = -1.44611245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785125732421875 × 2 - 1) × π
    -0.57025146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79149781260074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44611245} λ = -1.44611245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79149781260074))-π/2
    2×atan(0.1667102818104)-π/2
    2×0.165191113470527-π/2
    0.330382226941054-1.57079632675     		φ = -1.24041410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44611245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.856140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24041410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.070493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35369 KachelY 102908 -1.44611245 -1.24041410 -82.856140 -71.070493
    Oben rechts KachelX + 1 35370 KachelY 102908 -1.44606451 -1.24041410 -82.853393 -71.070493
    Unten links KachelX 35369 KachelY + 1 102909 -1.44611245 -1.24042965 -82.856140 -71.071384
    Unten rechts KachelX + 1 35370 KachelY + 1 102909 -1.44606451 -1.24042965 -82.853393 -71.071384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24041410--1.24042965) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dl = 99.06905000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24041410--1.24042965) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dr = 99.06905000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44611245--1.44606451) × cos(-1.24041410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324404607447958 × 6371000     		do = 99.081517289137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44611245--1.44606451) × cos(-1.24042965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324389898377361 × 6371000     		du = 99.0770247603652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24041410)-sin(-1.24042965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324404607447958-0.324389898377361)×R²
    abs(-1.44606451--1.44611245)×1.47090705969188e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47090705969188e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47090705969188e-05×40589641000000     		ar = 9815.6892552885m²