Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35363 / 48417
↖ ↑ ↗
← S 64.851272°
E 14.254761°		 ← 259.57 m → S 64.851272°
E 14.260254°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
S 64.853606°
E 14.254761°		 ← 259.54 m →
67 369 m²		 S 64.853606°
E 14.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539604187011719 y=0.738792419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539604187011719 × 216)
    floor (0.539604187011719 × 65536)
    floor (35363.5)     		tx = 35363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738792419433594 × 216)
    floor (0.738792419433594 × 65536)
    floor (48417.5)     		ty = 48417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35363 / 48417 ti = "16/35363/48417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35363/48417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35363 ÷ 216
    35363 ÷ 65536     		x = 0.539596557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48417 ÷ 216
    48417 ÷ 65536     		y = 0.738784790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539596557617188 × 2 - 1) × π
    0.079193115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24879251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738784790039062 × 2 - 1) × π
    -0.477569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50032908430852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24879251} λ = 0.24879251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50032908430852))-π/2
    2×atan(0.223056743594748)-π/2
    2×0.219464054971474-π/2
    0.438928109942948-1.57079632675     		φ = -1.13186822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24879251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.254761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13186822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.851272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35363 KachelY 48417 0.24879251 -1.13186822 14.254761 -64.851272
    Oben rechts KachelX + 1 35364 KachelY 48417 0.24888838 -1.13186822 14.260254 -64.851272
    Unten links KachelX 35363 KachelY + 1 48418 0.24879251 -1.13190896 14.254761 -64.853606
    Unten rechts KachelX + 1 35364 KachelY + 1 48418 0.24888838 -1.13190896 14.260254 -64.853606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13186822--1.13190896) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13186822--1.13190896) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24879251-0.24888838) × cos(-1.13186822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424969423398972 × 6371000     		do = 259.566126436038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24879251-0.24888838) × cos(-1.13190896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42493254488441 × 6371000     		du = 259.543601490368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13186822)-sin(-1.13190896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424969423398972-0.42493254488441)×R²
    abs(0.24888838-0.24879251)×3.68785145621331e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68785145621331e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68785145621331e-05×40589641000000     		ar = 67368.6433300765m²