Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3536 / 879
↖ ↑ ↗
← N 80.305330°
W 24.609375°		 ← 822.87 m → N 80.305330°
W 24.565430°		 →
↑
823.20 m
↓
↑
823.20 m
↓
N 80.297927°
W 24.609375°		 ← 823.50 m →
677 644 m²		 N 80.297927°
W 24.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43170166015625 y=0.10736083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43170166015625 × 213)
    floor (0.43170166015625 × 8192)
    floor (3536.5)     		tx = 3536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10736083984375 × 213)
    floor (0.10736083984375 × 8192)
    floor (879.5)     		ty = 879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3536 / 879 ti = "13/3536/879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3536/879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3536 ÷ 213
    3536 ÷ 8192     		x = 0.431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 879 ÷ 213
    879 ÷ 8192     		y = 0.1072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431640625 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1072998046875 × 2 - 1) × π
    0.785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46740809724353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42951462} λ = -0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46740809724353))-π/2
    2×atan(11.7918438961382)-π/2
    2×1.48619437315755-π/2
    2.97238874631511-1.57079632675     		φ = 1.40159242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40159242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.305330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3536 KachelY 879 -0.42951462 1.40159242 -24.609375 80.305330
    Oben rechts KachelX + 1 3537 KachelY 879 -0.42874763 1.40159242 -24.565430 80.305330
    Unten links KachelX 3536 KachelY + 1 880 -0.42951462 1.40146321 -24.609375 80.297927
    Unten rechts KachelX + 1 3537 KachelY + 1 880 -0.42874763 1.40146321 -24.565430 80.297927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40159242-1.40146321) × R
    0.000129210000000102 × 6371000     		dl = 823.196910000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40159242-1.40146321) × R
    0.000129210000000102 × 6371000     		dr = 823.196910000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42951462--0.42874763) × cos(1.40159242) × R
    0.000766990000000023 × 0.168397678203012 × 6371000     		do = 822.87412459062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42951462--0.42874763) × cos(1.40146321) × R
    0.000766990000000023 × 0.168525041566953 × 6371000     		du = 823.496484813914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40159242)-sin(1.40146321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168397678203012-0.168525041566953)×R²
    abs(-0.42874763--0.42951462)×0.000127363363941951×R²
    0.000766990000000023×0.000127363363941951×6371000²
    0.000766990000000023×0.000127363363941951×40589641000000     		ar = 677643.600130814m²