Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35359 / 103101
↖ ↑ ↗
← S 71.241706°
W 82.883606°		 ← 98.22 m → S 71.241706°
W 82.880859°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
S 71.242589°
W 82.883606°		 ← 98.21 m →
9 649 m²		 S 71.242589°
W 82.880859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269771575927734 y=0.786602020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269771575927734 × 217)
    floor (0.269771575927734 × 131072)
    floor (35359.5)     		tx = 35359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786602020263672 × 217)
    floor (0.786602020263672 × 131072)
    floor (103101.5)     		ty = 103101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35359 / 103101 ti = "17/35359/103101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35359/103101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35359 ÷ 217
    35359 ÷ 131072     		x = 0.269767761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103101 ÷ 217
    103101 ÷ 131072     		y = 0.786598205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269767761230469 × 2 - 1) × π
    -0.460464477539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.44659182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786598205566406 × 2 - 1) × π
    -0.573196411132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.80074963422741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44659182} λ = -1.44659182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80074963422741))-π/2
    2×atan(0.165175020950597)-π/2
    2×0.163696996322187-π/2
    0.327393992644374-1.57079632675     		φ = -1.24340233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44659182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.883606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24340233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.241706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35359 KachelY 103101 -1.44659182 -1.24340233 -82.883606 -71.241706
    Oben rechts KachelX + 1 35360 KachelY 103101 -1.44654388 -1.24340233 -82.880859 -71.241706
    Unten links KachelX 35359 KachelY + 1 103102 -1.44659182 -1.24341775 -82.883606 -71.242589
    Unten rechts KachelX + 1 35360 KachelY + 1 103102 -1.44654388 -1.24341775 -82.880859 -71.242589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24340233--1.24341775) × R
    1.54200000002103e-05 × 6371000     		dl = 98.2408200013396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24340233--1.24341775) × R
    1.54200000002103e-05 × 6371000     		dr = 98.2408200013396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44659182--1.44654388) × cos(-1.24340233) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.321576541477559 × 6371000     		do = 98.2177531478146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44659182--1.44654388) × cos(-1.24341775) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.321561940494411 × 6371000     		du = 98.2132936317319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24340233)-sin(-1.24341775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321576541477559-0.321561940494411)×R²
    abs(-1.44654388--1.44659182)×1.46009831480387e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.46009831480387e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.46009831480387e-05×40589641000000     		ar = 9648.77355497115m²