Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35358 / 101902
↖ ↑ ↗
← S 70.153423°
W 82.886353°		 ← 103.69 m → S 70.153423°
W 82.883606°		 →
↑
103.72 m
↓
↑
103.72 m
↓
S 70.154356°
W 82.886353°		 ← 103.69 m →
10 755 m²		 S 70.154356°
W 82.883606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269763946533203 y=0.777454376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269763946533203 × 217)
    floor (0.269763946533203 × 131072)
    floor (35358.5)     		tx = 35358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777454376220703 × 217)
    floor (0.777454376220703 × 131072)
    floor (101902.5)     		ty = 101902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35358 / 101902 ti = "17/35358/101902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35358/101902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35358 ÷ 217
    35358 ÷ 131072     		x = 0.269760131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101902 ÷ 217
    101902 ÷ 131072     		y = 0.777450561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269760131835938 × 2 - 1) × π
    -0.460479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44663976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777450561523438 × 2 - 1) × π
    -0.554901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74327329158296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44663976} λ = -1.44663976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74327329158296))-π/2
    2×atan(0.174946810443105)-π/2
    2×0.173194056955954-π/2
    0.346388113911908-1.57079632675     		φ = -1.22440821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44663976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.886353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22440821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.153423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35358 KachelY 101902 -1.44663976 -1.22440821 -82.886353 -70.153423
    Oben rechts KachelX + 1 35359 KachelY 101902 -1.44659182 -1.22440821 -82.883606 -70.153423
    Unten links KachelX 35358 KachelY + 1 101903 -1.44663976 -1.22442449 -82.886353 -70.154356
    Unten rechts KachelX + 1 35359 KachelY + 1 101903 -1.44659182 -1.22442449 -82.883606 -70.154356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22440821--1.22442449) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dl = 103.719880000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22440821--1.22442449) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dr = 103.719880000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44663976--1.44659182) × cos(-1.22440821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339502673639136 × 6371000     		do = 103.692855328143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44663976--1.44659182) × cos(-1.22442449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339487360543287 × 6371000     		du = 103.688178314512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22440821)-sin(-1.22442449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339502673639136-0.339487360543287)×R²
    abs(-1.44659182--1.44663976)×1.53130958487901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53130958487901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53130958487901e-05×40589641000000     		ar = 10754.7679622573m²