Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35357 / 47974
↖ ↑ ↗
← S 63.797043°
E 14.221802°		 ← 269.69 m → S 63.797043°
E 14.227295°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
S 63.799468°
E 14.221802°		 ← 269.67 m →
72 729 m²		 S 63.799468°
E 14.227295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539512634277344 y=0.732032775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539512634277344 × 216)
    floor (0.539512634277344 × 65536)
    floor (35357.5)     		tx = 35357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732032775878906 × 216)
    floor (0.732032775878906 × 65536)
    floor (47974.5)     		ty = 47974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35357 / 47974 ti = "16/35357/47974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35357/47974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35357 ÷ 216
    35357 ÷ 65536     		x = 0.539505004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47974 ÷ 216
    47974 ÷ 65536     		y = 0.732025146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539505004882812 × 2 - 1) × π
    0.079010009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24821727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732025146484375 × 2 - 1) × π
    -0.46405029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45785699124515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24821727} λ = 0.24821727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45785699124515))-π/2
    2×atan(0.232734492751819)-π/2
    2×0.22866393760306-π/2
    0.457327875206121-1.57079632675     		φ = -1.11346845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24821727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.221802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11346845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.797043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35357 KachelY 47974 0.24821727 -1.11346845 14.221802 -63.797043
    Oben rechts KachelX + 1 35358 KachelY 47974 0.24831314 -1.11346845 14.227295 -63.797043
    Unten links KachelX 35357 KachelY + 1 47975 0.24821727 -1.11351078 14.221802 -63.799468
    Unten rechts KachelX + 1 35358 KachelY + 1 47975 0.24831314 -1.11351078 14.227295 -63.799468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11346845--1.11351078) × R
    4.23299999998683e-05 × 6371000     		dl = 269.684429999161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11346845--1.11351078) × R
    4.23299999998683e-05 × 6371000     		dr = 269.684429999161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24821727-0.24831314) × cos(-1.11346845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441552162195668 × 6371000     		do = 269.694660486164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24821727-0.24831314) × cos(-1.11351078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441514181817937 × 6371000     		du = 269.671462535946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11346845)-sin(-1.11351078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441552162195668-0.441514181817937)×R²
    abs(0.24831314-0.24821727)×3.79803777311172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79803777311172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79803777311172e-05×40589641000000     		ar = 72729.3227348492m²