Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35357 / 103104
↖ ↑ ↗
← S 71.244356°
W 82.889099°		 ← 98.18 m → S 71.244356°
W 82.886353°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
S 71.245239°
W 82.889099°		 ← 98.18 m →
9 639 m²		 S 71.245239°
W 82.886353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269756317138672 y=0.786624908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269756317138672 × 217)
    floor (0.269756317138672 × 131072)
    floor (35357.5)     		tx = 35357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786624908447266 × 217)
    floor (0.786624908447266 × 131072)
    floor (103104.5)     		ty = 103104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35357 / 103104 ti = "17/35357/103104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35357/103104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35357 ÷ 217
    35357 ÷ 131072     		x = 0.269752502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103104 ÷ 217
    103104 ÷ 131072     		y = 0.78662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269752502441406 × 2 - 1) × π
    -0.460494995117188 × 3.1415926535     		Λ = -1.44668769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78662109375 × 2 - 1) × π
    -0.5732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80089344492627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44668769} λ = -1.44668769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80089344492627))-π/2
    2×atan(0.165151268723353)-π/2
    2×0.16367387482318-π/2
    0.32734774964636-1.57079632675     		φ = -1.24344858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44668769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.889099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24344858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.244356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35357 KachelY 103104 -1.44668769 -1.24344858 -82.889099 -71.244356
    Oben rechts KachelX + 1 35358 KachelY 103104 -1.44663976 -1.24344858 -82.886353 -71.244356
    Unten links KachelX 35357 KachelY + 1 103105 -1.44668769 -1.24346399 -82.889099 -71.245239
    Unten rechts KachelX + 1 35358 KachelY + 1 103105 -1.44663976 -1.24346399 -82.886353 -71.245239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24344858--1.24346399) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dl = 98.1771100003122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24344858--1.24346399) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dr = 98.1771100003122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44668769--1.44663976) × cos(-1.24344858) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321532747767724 × 6371000     		do = 98.1838925698902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44668769--1.44663976) × cos(-1.24346399) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321518156024291 × 6371000     		du = 98.1794368054942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24344858)-sin(-1.24346399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321532747767724-0.321518156024291)×R²
    abs(-1.44663976--1.44668769)×1.45917434332676e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45917434332676e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45917434332676e-05×40589641000000     		ar = 9639.1920942738m²