Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35354 / 103096
↖ ↑ ↗
← S 71.237289°
W 82.897339°		 ← 98.22 m → S 71.237289°
W 82.894592°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
S 71.238173°
W 82.897339°		 ← 98.22 m →
9 649 m²		 S 71.238173°
W 82.894592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269733428955078 y=0.786563873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269733428955078 × 217)
    floor (0.269733428955078 × 131072)
    floor (35354.5)     		tx = 35354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786563873291016 × 217)
    floor (0.786563873291016 × 131072)
    floor (103096.5)     		ty = 103096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35354 / 103096 ti = "17/35354/103096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35354/103096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35354 ÷ 217
    35354 ÷ 131072     		x = 0.269729614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103096 ÷ 217
    103096 ÷ 131072     		y = 0.78656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269729614257812 × 2 - 1) × π
    -0.460540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44683150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.5731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80050994972931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44683150} λ = -1.44683150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80050994972931))-π/2
    2×atan(0.165214615587513)-π/2
    2×0.163735539151196-π/2
    0.327471078302392-1.57079632675     		φ = -1.24332525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44683150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.897339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24332525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.237289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35354 KachelY 103096 -1.44683150 -1.24332525 -82.897339 -71.237289
    Oben rechts KachelX + 1 35355 KachelY 103096 -1.44678357 -1.24332525 -82.894592 -71.237289
    Unten links KachelX 35354 KachelY + 1 103097 -1.44683150 -1.24334067 -82.897339 -71.238173
    Unten rechts KachelX + 1 35355 KachelY + 1 103097 -1.44678357 -1.24334067 -82.894592 -71.238173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24332525--1.24334067) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24332525--1.24334067) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44683150--1.44678357) × cos(-1.24332525) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321649526309103 × 6371000     		do = 98.2195523023462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44683150--1.44678357) × cos(-1.24334067) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321634925708207 × 6371000     		du = 98.2150938332174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24332525)-sin(-1.24334067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321649526309103-0.321634925708207)×R²
    abs(-1.44678357--1.44683150)×1.46006008957533e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46006008957533e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46006008957533e-05×40589641000000     		ar = 9648.95035644791m²