Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35352 / 101896
↖ ↑ ↗
← S 70.147827°
W 82.902832°		 ← 103.72 m → S 70.147827°
W 82.900085°		 →
↑
103.72 m
↓
↑
103.72 m
↓
S 70.148760°
W 82.902832°		 ← 103.72 m →
10 758 m²		 S 70.148760°
W 82.900085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269718170166016 y=0.777408599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269718170166016 × 217)
    floor (0.269718170166016 × 131072)
    floor (35352.5)     		tx = 35352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777408599853516 × 217)
    floor (0.777408599853516 × 131072)
    floor (101896.5)     		ty = 101896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35352 / 101896 ti = "17/35352/101896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35352/101896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35352 ÷ 217
    35352 ÷ 131072     		x = 0.26971435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101896 ÷ 217
    101896 ÷ 131072     		y = 0.77740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26971435546875 × 2 - 1) × π
    -0.4605712890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44692738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.5548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74298567018524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44692738} λ = -1.44692738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74298567018524))-π/2
    2×atan(0.174997136126276)-π/2
    2×0.173242887677236-π/2
    0.346485775354472-1.57079632675     		φ = -1.22431055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44692738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.902832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22431055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.147827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35352 KachelY 101896 -1.44692738 -1.22431055 -82.902832 -70.147827
    Oben rechts KachelX + 1 35353 KachelY 101896 -1.44687944 -1.22431055 -82.900085 -70.147827
    Unten links KachelX 35352 KachelY + 1 101897 -1.44692738 -1.22432683 -82.902832 -70.148760
    Unten rechts KachelX + 1 35353 KachelY + 1 101897 -1.44687944 -1.22432683 -82.900085 -70.148760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22431055--1.22432683) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dl = 103.719880000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22431055--1.22432683) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dr = 103.719880000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44692738--1.44687944) × cos(-1.22431055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339594531513041 × 6371000     		do = 103.720911087256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44692738--1.44687944) × cos(-1.22432683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33957921895703 × 6371000     		du = 103.716234238505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22431055)-sin(-1.22432683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339594531513041-0.33957921895703)×R²
    abs(-1.44687944--1.44692738)×1.53125560110046e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53125560110046e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53125560110046e-05×40589641000000     		ar = 10757.677910698m²