Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35351 / 101897
↖ ↑ ↗
← S 70.148760°
W 82.905579°		 ← 103.72 m → S 70.148760°
W 82.902832°		 →
↑
103.72 m
↓
↑
103.72 m
↓
S 70.149693°
W 82.905579°		 ← 103.71 m →
10 757 m²		 S 70.149693°
W 82.902832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269710540771484 y=0.777416229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269710540771484 × 217)
    floor (0.269710540771484 × 131072)
    floor (35351.5)     		tx = 35351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777416229248047 × 217)
    floor (0.777416229248047 × 131072)
    floor (101897.5)     		ty = 101897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35351 / 101897 ti = "17/35351/101897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35351/101897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35351 ÷ 217
    35351 ÷ 131072     		x = 0.269706726074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101897 ÷ 217
    101897 ÷ 131072     		y = 0.777412414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269706726074219 × 2 - 1) × π
    -0.460586547851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.44697532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777412414550781 × 2 - 1) × π
    -0.554824829101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.74303360708486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44697532} λ = -1.44697532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74303360708486))-π/2
    2×atan(0.174988747507191)-π/2
    2×0.17323474830628-π/2
    0.346469496612561-1.57079632675     		φ = -1.22432683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44697532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.905579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22432683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.148760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35351 KachelY 101897 -1.44697532 -1.22432683 -82.905579 -70.148760
    Oben rechts KachelX + 1 35352 KachelY 101897 -1.44692738 -1.22432683 -82.902832 -70.148760
    Unten links KachelX 35351 KachelY + 1 101898 -1.44697532 -1.22434311 -82.905579 -70.149693
    Unten rechts KachelX + 1 35352 KachelY + 1 101898 -1.44692738 -1.22434311 -82.902832 -70.149693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22432683--1.22434311) × R
    1.62799999998686e-05 × 6371000     		dl = 103.719879999163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22432683--1.22434311) × R
    1.62799999998686e-05 × 6371000     		dr = 103.719879999163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44697532--1.44692738) × cos(-1.22432683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33957921895703 × 6371000     		do = 103.716234238505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44697532--1.44692738) × cos(-1.22434311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339563906311018 × 6371000     		du = 103.711557362265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22432683)-sin(-1.22434311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33957921895703-0.339563906311018)×R²
    abs(-1.44692738--1.44697532)×1.53126460123998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53126460123998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53126460123998e-05×40589641000000     		ar = 10757.1928268644m²