Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35350 / 103092
↖ ↑ ↗
← S 71.233755°
W 82.908325°		 ← 98.24 m → S 71.233755°
W 82.905579°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
S 71.234639°
W 82.908325°		 ← 98.23 m →
9 651 m²		 S 71.234639°
W 82.905579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269702911376953 y=0.786533355712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269702911376953 × 217)
    floor (0.269702911376953 × 131072)
    floor (35350.5)     		tx = 35350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786533355712891 × 217)
    floor (0.786533355712891 × 131072)
    floor (103092.5)     		ty = 103092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35350 / 103092 ti = "17/35350/103092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35350/103092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35350 ÷ 217
    35350 ÷ 131072     		x = 0.269699096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103092 ÷ 217
    103092 ÷ 131072     		y = 0.786529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269699096679688 × 2 - 1) × π
    -0.460601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44702325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.57305908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80031820213083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44702325} λ = -1.44702325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80031820213083))-π/2
    2×atan(0.165246298130714)-π/2
    2×0.163766379713014-π/2
    0.327532759426027-1.57079632675     		φ = -1.24326357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44702325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.908325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24326357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.233755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35350 KachelY 103092 -1.44702325 -1.24326357 -82.908325 -71.233755
    Oben rechts KachelX + 1 35351 KachelY 103092 -1.44697532 -1.24326357 -82.905579 -71.233755
    Unten links KachelX 35350 KachelY + 1 103093 -1.44702325 -1.24327899 -82.908325 -71.234639
    Unten rechts KachelX + 1 35351 KachelY + 1 103093 -1.44697532 -1.24327899 -82.905579 -71.234639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24326357--1.24327899) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24326357--1.24327899) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44702325--1.44697532) × cos(-1.24326357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321707927947845 × 6371000     		do = 98.2373859453077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44702325--1.44697532) × cos(-1.24327899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321693327652892 × 6371000     		du = 98.2329275696024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24326357)-sin(-1.24327899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321707927947845-0.321693327652892)×R²
    abs(-1.44697532--1.44702325)×1.46002949522606e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46002949522606e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46002949522606e-05×40589641000000     		ar = 9650.70235296462m²